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一、明確課程的學(xué)習(xí)意義及必要性

一門(mén)課程的學(xué)習(xí)伊始，教師應(yīng)該清晰謹(jǐn)慎地提出本課程可以給予學(xué)生的承諾與機(jī)會(huì)。例如，該課程將幫助學(xué)生回答什么樣的問(wèn)題?這些問(wèn)題將有助于他們發(fā)展何種類型的智力、體力、感情或社交能力?學(xué)習(xí)該門(mén)課程對(duì)于他們后續(xù)課程學(xué)習(xí)有什么幫助?對(duì)于他們?nèi)蘸蠊ぷ饔惺裁礃拥膸椭裕谝惶谜n，最重要的不是快速進(jìn)入教學(xué)內(nèi)容的講授環(huán)節(jié)，而在于幫助學(xué)生明確該門(mén)課程的學(xué)習(xí)意義。一個(gè)直接明了的問(wèn)題有助于引起學(xué)生的深入思考，所以教師首先可以向?qū)W生提出問(wèn)題:為什么學(xué)習(xí)《初等數(shù)論》(或課程)?要回答該問(wèn)題，不僅需要教師對(duì)于該門(mén)課程的課程教學(xué)目標(biāo)有清晰的理解，而且要能通過(guò)簡(jiǎn)潔、非專業(yè)的語(yǔ)言向未學(xué)習(xí)該門(mén)課程的同學(xué)解釋清楚答案．對(duì)該問(wèn)題的回答既有學(xué)科知識(shí)上的考慮，如對(duì)于后續(xù)課程的學(xué)習(xí)、對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)等方面的影響，但更要從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，采用實(shí)用主義的觀點(diǎn)，告訴學(xué)生該課程對(duì)于其自身日后的成長(zhǎng)發(fā)展尤其是畢業(yè)求職以及離開(kāi)學(xué)校后的發(fā)展可能會(huì)起的作用。作為對(duì)問(wèn)題的回答，第一個(gè)原因，基于營(yíng)造良好課堂教學(xué)氣氛的考慮，教師給出答案:為了拿到學(xué)分，為了畢業(yè)，不得不學(xué)．而且結(jié)合課程性質(zhì)，因?yàn)樗且婚T(mén)專業(yè)限選課，該門(mén)課程的成績(jī)影響學(xué)分績(jī)點(diǎn)，所以，要求同學(xué)不僅要考試通過(guò)，而且應(yīng)該爭(zhēng)取取得盡可能高的成績(jī)．以此對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)提出比較高的要求．接著，教師向全體同學(xué)展示新的高中數(shù)學(xué)教材選修2———《數(shù)論初步》，讓學(xué)生明確，數(shù)論不僅是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，而且是新的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求的教學(xué)內(nèi)容．如果要想成為一名符合新課程要求的合格的高中數(shù)學(xué)教師，同學(xué)應(yīng)該要學(xué)習(xí)掌握數(shù)論的有關(guān)知識(shí)．然后，教師講述自己親身經(jīng)歷過(guò)的一件事情:“曾經(jīng)有一個(gè)同事問(wèn)我，2．5除以0．8余數(shù)是幾．因?yàn)樗⒆幼鲎鳂I(yè)時(shí)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題．結(jié)果孩子答案是1，老師說(shuō)答案是0．1．請(qǐng)問(wèn)余數(shù)到底是幾?”．學(xué)生對(duì)于這個(gè)問(wèn)題也陷入了思考，有的認(rèn)為是0．1，因?yàn)橛鄶?shù)要小于除數(shù)，有的認(rèn)為答案是1，因?yàn)樾W(xué)生做除法時(shí)應(yīng)該要先移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)然后再計(jì)算．此時(shí)教師可以告訴學(xué)生，余數(shù)是數(shù)論中的一個(gè)概念，而數(shù)論研究對(duì)象是整數(shù)，所以，教師所提的問(wèn)題本身就是錯(cuò)的，以此幫助學(xué)生明確該課程學(xué)習(xí)的第三重理由:作為數(shù)學(xué)教師，數(shù)學(xué)專業(yè)水平不高，不懂得一些數(shù)論的知識(shí)，教學(xué)工作就可能會(huì)犯錯(cuò)．接下來(lái)教師再提問(wèn)第四個(gè)問(wèn)題，什么樣的整數(shù)能夠被3整除?幾乎所有的學(xué)生立刻能夠說(shuō)出答案:只要看這個(gè)整數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字的和是不是3的倍數(shù)．教師接著問(wèn)為什么有此結(jié)論?則所有的同學(xué)都安靜下來(lái)．這時(shí)教師點(diǎn)明學(xué)習(xí)初等數(shù)論的第四個(gè)理由:幫助同學(xué)明白一些數(shù)學(xué)結(jié)論成立的道理．可能有的同學(xué)認(rèn)為“這些結(jié)論我知道、好用、會(huì)用”就可以了，何必要弄明白它為什么成立呢?教師回答:知道這些結(jié)論成立的道理一方面可以幫助我們確信這些結(jié)論成立的正確性，另一方面可以以此幫助我們?nèi)ヌ綄じ嗪糜玫慕Y(jié)論，如“什么樣的數(shù)能被9、11、13、17…整除?”而且有些結(jié)論如果不知道它成立的原因容易忘記或者用錯(cuò)，但是明確了知識(shí)的來(lái)龍去脈，就變成了理解性記憶，不僅記憶能更加深刻持久，而且不會(huì)覺(jué)得記憶相關(guān)結(jié)論是一個(gè)負(fù)擔(dān)．最后教師結(jié)合上一學(xué)期《競(jìng)賽數(shù)學(xué)》課的學(xué)習(xí)點(diǎn)明第五個(gè)學(xué)習(xí)初等數(shù)論的原因:中小學(xué)數(shù)學(xué)教師進(jìn)行數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)活動(dòng)需要學(xué)習(xí)數(shù)論知識(shí)．雖然數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)飽受批評(píng)，但那多是由于人們將競(jìng)賽活動(dòng)過(guò)度功利化及競(jìng)賽開(kāi)展的低齡化、競(jìng)賽培訓(xùn)范圍的擴(kuò)大化和培訓(xùn)形式的單一化所造成的，數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)本身有其積極的教育價(jià)值．而數(shù)論問(wèn)題題意簡(jiǎn)單、解答需要深入思考的特點(diǎn)決定了它用于培養(yǎng)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)人才具有先天的優(yōu)勢(shì)．誠(chéng)如大衛(wèi)•希爾伯特所講;“用以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)天才，在初等數(shù)學(xué)中再也沒(méi)有比數(shù)論更好的課程了……”．第六個(gè)學(xué)習(xí)初等數(shù)論的理由是:通過(guò)人們對(duì)初等數(shù)論應(yīng)用價(jià)值的研究，幫助大家加深對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)．20世紀(jì)50年代以前，人們認(rèn)為數(shù)論沒(méi)有多少應(yīng)用價(jià)值，數(shù)學(xué)家研究它是因?yàn)閿?shù)論問(wèn)題有趣，是進(jìn)行“思維體操”的材料，但是隨著計(jì)算機(jī)和信息技術(shù)的發(fā)展，數(shù)論中的許多理論找到了用武之地:比如在計(jì)算方法、代數(shù)編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數(shù)論范圍內(nèi)的許多研究成果;有文獻(xiàn)報(bào)道，現(xiàn)在有些國(guó)家應(yīng)用“孫子定理”來(lái)進(jìn)行測(cè)距，用原根和指數(shù)來(lái)計(jì)算離散傅立葉變換等．此外，數(shù)論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應(yīng)用．特別是現(xiàn)在由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，用離散量的計(jì)算去逼近連續(xù)量而達(dá)到所要求的精度已成為可能．尤其是基于大數(shù)分解的RSA公開(kāi)密鑰體制深刻地改變著人們對(duì)數(shù)論和數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)。以上六條理由在輕松的氣氛下既幫助學(xué)生明確了《初等數(shù)論》課程的學(xué)習(xí)意義，又告訴學(xué)生“學(xué)科知識(shí)對(duì)于課堂教學(xué)及數(shù)學(xué)教育至關(guān)重要，大學(xué)數(shù)學(xué)課程對(duì)于未來(lái)從教發(fā)揮重要作用”，同時(shí)介紹了數(shù)論現(xiàn)展的一些特點(diǎn)。

二、介紹學(xué)科的發(fā)展簡(jiǎn)史

“如果我們想要預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)的未來(lái)，那么適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門(mén)學(xué)科的歷史和現(xiàn)狀”(亨利•龐加萊)．近年來(lái)，在我國(guó)的數(shù)學(xué)教育改革中，人們?cè)絹?lái)越重視數(shù)學(xué)史知識(shí)在數(shù)學(xué)教育中的價(jià)值和應(yīng)用．介紹該門(mén)學(xué)科的歷史從淺的層次上看可以通過(guò)講故事的形式吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從深的層次上看可以幫助學(xué)生理解該門(mén)學(xué)科的研究問(wèn)題、學(xué)科特點(diǎn)及發(fā)展趨勢(shì)。該節(jié)課討論的第二個(gè)問(wèn)題是數(shù)論學(xué)科的發(fā)展歷史及分類，以發(fā)展的眼光看初等數(shù)論是如何形成、產(chǎn)生和發(fā)展的。在此既從古代人們對(duì)數(shù)論問(wèn)題的零星、瑣碎的研究，明確數(shù)論問(wèn)題的解決和研究促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，又要介紹高斯在數(shù)論的學(xué)科化、系統(tǒng)化方面所作出的杰出貢獻(xiàn)，包括其劃時(shí)代的著作《算術(shù)探討》在完成之初被法國(guó)科學(xué)院拒絕出版的軼事也有其積極的教育價(jià)值。而正如前面回答“為什么學(xué)習(xí)初等數(shù)論”時(shí)給出的第六個(gè)答案所講的，數(shù)論學(xué)科的現(xiàn)展已經(jīng)使得該門(mén)學(xué)科不再僅僅是思維的體操，更慢慢成為一門(mén)有著廣泛應(yīng)用的學(xué)科。

三、明確學(xué)科研究對(duì)象及特點(diǎn)

一門(mén)學(xué)科總有其核心的研究對(duì)象或問(wèn)題。在第一堂課上，即使學(xué)生難以一下子完全理解，教師也應(yīng)該明確指出該門(mén)學(xué)科研究的核心問(wèn)題。所以該節(jié)課第三個(gè)要講授的內(nèi)容是數(shù)論的研究對(duì)象及學(xué)科特點(diǎn)。第一，要幫助學(xué)生明確該門(mén)課程的研究對(duì)象是整數(shù)，其最核心的概念是整除。初等數(shù)論的知識(shí)體系其實(shí)都是圍繞整數(shù)和整除展開(kāi)的。第二，數(shù)論是一門(mén)蓬勃發(fā)展的學(xué)科，它內(nèi)部產(chǎn)生的大量問(wèn)題促進(jìn)了數(shù)論學(xué)科的快速發(fā)展。加拿大數(shù)論專家RichardK。Guy教授曾編寫(xiě)了一本《數(shù)論中未解決的問(wèn)題》一書(shū)，該書(shū)在1981年首次出版時(shí)大約有150頁(yè)，而1994年第二次再版時(shí)，將第一次出版后已解決了的問(wèn)題刪去，又將隨后提出的新數(shù)論問(wèn)題加入，這樣一來(lái)，第二版書(shū)的頁(yè)碼增加到280頁(yè)。第三點(diǎn)要著重說(shuō)明的是無(wú)論是古代還是現(xiàn)代，中國(guó)數(shù)學(xué)家在數(shù)論研究上都取得了杰出的成就。為了幫助學(xué)生加深對(duì)學(xué)科特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，教師可以列舉介紹一些簡(jiǎn)單而典型的學(xué)科問(wèn)題。高斯說(shuō)，“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是皇后戴的皇冠”，而一些精彩有趣的數(shù)論問(wèn)題則被喻為是皇冠上的明珠，熠熠發(fā)光。通過(guò)簡(jiǎn)單介紹費(fèi)馬大定理尤其是A•懷爾斯的工作幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)家解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的艱辛，以及數(shù)學(xué)家在證明費(fèi)馬大定理上所做的各種嘗試和提出的理論，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的極大促進(jìn)作用。或許某個(gè)理論并沒(méi)有解決它想要解決的問(wèn)題，但可以在其它方面找到應(yīng)用，正如費(fèi)馬大定理被喻為“生下金蛋的母雞”一樣;通過(guò)介紹哥德巴赫猜想及其證明原理幫助學(xué)生了解陳景潤(rùn)證明的“1+2”的含義，消除誤解;通過(guò)介紹完全數(shù)、親和數(shù)問(wèn)題，幫助學(xué)生感受數(shù)學(xué)問(wèn)題里蘊(yùn)含的理與美。以上所有問(wèn)題可以再次讓學(xué)生體會(huì)數(shù)論問(wèn)題的特點(diǎn):題目本身簡(jiǎn)單易懂、富有趣味，許多數(shù)論難題甚至連小學(xué)生都能明白題意，可是要真正證明它，卻可能需要數(shù)學(xué)家長(zhǎng)時(shí)間的研究和解決。

四、幫助學(xué)生明確不足

一門(mén)學(xué)科或許是有趣的、有意義的，但是如果能讓學(xué)生意識(shí)到自己現(xiàn)在的不足，則對(duì)于后面的主動(dòng)學(xué)習(xí)無(wú)疑是有利的。該節(jié)課介紹的第四個(gè)內(nèi)容是數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱中涉及的數(shù)論問(wèn)題及要求。通過(guò)介紹數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱中涉及的數(shù)論內(nèi)容，幫助學(xué)生意識(shí)到自己知識(shí)能力上的不足。尤其是通過(guò)請(qǐng)學(xué)生嘗試思考解決一些中小學(xué)的典型數(shù)論競(jìng)賽題，讓學(xué)生更進(jìn)一步地認(rèn)識(shí)到自己在問(wèn)題思考和解決上能力的不足，給本門(mén)課程的學(xué)習(xí)創(chuàng)造一個(gè)憤悱的狀態(tài)。

五、明確課程的學(xué)習(xí)要求及學(xué)習(xí)建議

第一堂課，教師對(duì)于該門(mén)課程的學(xué)習(xí)應(yīng)提出明確的學(xué)習(xí)要求，這個(gè)要求既包括了對(duì)教師自己的要求———老師將會(huì)努力提供值得一聽(tīng)的課堂教學(xué)，幫助大家解決前面提出的問(wèn)題，讓大家通過(guò)該門(mén)課程的學(xué)習(xí)學(xué)有所獲;如果大家認(rèn)為教師沒(méi)有做到，或者中間有任何問(wèn)題，請(qǐng)大家及時(shí)告訴老師;同時(shí)也包括了對(duì)同學(xué)的要求:同學(xué)們一旦選定了這門(mén)課就要對(duì)自己的選擇負(fù)責(zé)，不僅每次都來(lái)上課，而且為了對(duì)選修了該門(mén)課程的同學(xué)負(fù)責(zé)，不要遲到，嚴(yán)格遵守課堂紀(jì)律以免影響老師的教學(xué)和同學(xué)的學(xué)習(xí)。假如發(fā)現(xiàn)某位同學(xué)曠課，那么老師將會(huì)從平時(shí)成績(jī)中扣10分。當(dāng)然，如果最后該同學(xué)沒(méi)有上課，可是通過(guò)自學(xué)或者其他方式最后在該門(mén)課程的期末考試中取得理想的成績(jī)，那么他仍然有可能拿到這個(gè)學(xué)分。至于該門(mén)課程的學(xué)習(xí)，一方面課堂認(rèn)真聽(tīng)講肯定是有益的，另一方面要注意記筆記和積極思考。有關(guān)學(xué)習(xí)資料可以在教學(xué)網(wǎng)站上下載，也可通過(guò)教師公布的電子信箱及時(shí)與老師交流。另外，對(duì)于該門(mén)課程的考核方式及要求教師也應(yīng)該在第一堂課上明確告知學(xué)生，以利于學(xué)生平日的學(xué)習(xí)和最后的復(fù)習(xí)。一百個(gè)老師就有一百種不同的講授第一堂課的方法。以上《初等數(shù)論》第一堂課教學(xué)設(shè)計(jì)肯定不完美。只是我們希望通過(guò)拋出的這一塊“磚”能引起大家對(duì)新學(xué)期第一堂課乃至大學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)注，則目的達(dá)到。

作者：侯小華 潘兵 單位：魯東大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)科學(xué)學(xué)院