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1微積分的教學現狀

根據筆者多年的微積分課程教學體會，目前微積分教學的實際情況不容樂觀。課時少，內容多，教師受教學計劃和教學大綱的制約，往往忙于趕進度，不易照顧到學生的感受。課堂教學仍然是教師講、學生聽的模式，學生沒能成為教學過程中的主體，沒有真正融入教學過程，學生與教師主客體倒置，這在相當大的程度上降低了學生學學數學的興趣，一定程度上挫傷了學生的學習積極性。教學內容抽象，理論性強，教材偏向于純數學的理論和計算，學生得到的是一大堆的數學定理、公式，缺乏直觀的演示，導致學生對微積分這門課程產生畏難情緒。缺乏數學與經濟之間的相互滲透，使學生學習微積分的目的不明確，為學微積分而學微積分，許多學生學完微積分后不會具體應用，從而造成學生的學習興趣不高，教學效果不好，微積分學習形成了一種不良循環。尤其是新形勢下市場經濟的快速發展對大學畢業生技能素質提出了更高的要求，經濟數學的教學工作必須跟上時展的步伐。微積分的教學改革勢在必行。

2存在問題的原因分析

筆者認為，造成上述情況的原因是多方面的，大體上可以分為教學內容、教學方法和教學手段等三個方面的原因。

2．1從教學內容方面看

目前的微積分教材十分注重理論的嚴謹性。微積分的教學內容和體系長期以來基本沿用過去已形成的相對穩定的固有模式，以傳授基本概念、基本理論和基本方法為主要目的。從內容展開的層次看，大多仍沿用傳統的“概念（定義）→定理（結論）→例題”固定模式，過分強調了形式傾向嚴格化的東西，如極限的定義等，注重嚴密的邏輯推理和解題技巧，而忽視了微積分教育最本質的東西應是直觀化和形象化。理論介紹缺少實際背景的鋪墊。課堂上學生的思維總是被按部就班地朝著固定的方向引導，往往重視理論知識而忽略了其實際背景和應用價值。這使學生感到微積分課程非常抽象，非常難學，非常神秘。

2．2從教學方法方面看

目前大多數微積分的教學，出于對理論性和知識體系的嚴謹性考慮，教學方法仍顯得抽象而陳舊，講課中往往過于注重知識的系統傳授而忽略了知識的產生和應用背景；偏重符號演算和解題技巧的訓練，忽視從直觀（主要來自應用和美感）和問題背景方面的引導。往往走的是一條只講推理不講道理的“最捷”路線，使學生難以生動活潑、主動地學習。不少高校微積分課的教學，一直延用著傳統的教學模式———講授法、問答法。很少把學生真正理解并掌握了多少微積分知識作為尺度，也很少思考如何用最少的語言和最新的教學技術和手段去啟發學生自主學習和思考的能力，經常用單一的考試成績來衡量學生的學習效果和成績，而不注意考察學生的學習過程和考核學生的認知能力。缺少實驗課程環節，學生應用數學困難。缺乏微積分的驗證性實驗、計算性實驗、探索性實驗和綜合設計性實驗。在這種教學方式下，學生只是被動地接受知識，難以發揮學習的主動性、靈活性和創造性，學習效率低是高校微積分課教學目前普遍存在的問題。

2．3從教學手段方面看

目前許多教師仍然還停留在一支粉筆黑板教學的階段，多媒體教學運用不夠，過分強調教師的講解，學生聽與練，與數學發展和應用現狀極不適應。缺乏數學軟件包括Matlab、Mathematica等的使用。缺乏對網絡平臺和網絡資源的利用。

3微積分教學改革的對策措施

3．1教材改革

微積分教學內容改革的成敗，教材是至關重要的因素之一。一方面，我們可以借鑒世界其他國家的微積分教材改革經驗，另一方面，根據我國微積分教學的實際情況加以調整。近幾十年來，美國在微積分教材建設和改革方面做了許多有益的探索和研究，不少改革者為了達到更好的教學效果，使用自編講義進行教學，并對原有教材內容作了比較大的改變和調整。在微積分教材改革中，由哈佛大學編寫的《微積分》是最有影響的一個。作者在編寫這本教材時采用了兩個指導原則。其一，全書采用“三原則”的模式介紹定理和概念，“三原則”是指：每一個概念以幾何，文字描述和代數形式呈現出來。其二，“阿基米德方法”。這實際上是對建構性學習理論的重述：該學習理論認為正式的定義來源于對實際問題的研究。這兩個原則的采用有利于加深學生對概念和定理的理解，使學生能夠從不同的側面和不同的角度為切入點，深入概念和定理的本質。后來，“三原則”又發展為“四原則”，即在原來的基礎上加上“寫作”，換句話說就是讓學生用自己的語言來表述所學的定理或概念，從而加深對所學內容的理解和認識。改革微積分教材中使用了大量的圖形、表格，而且大多數的改革微積分都沒有對證明進行嚴格的要求。改革者認為，幫助學生理解抽象的定理比證明定理更有價值。改革微積分教材應遵循著“精簡而生動”的思路，在充分考慮到對學習要求較高的學生的要求的同時，可以將那些認為“不重要”的內容從微積分教材中刪掉。我國的微積分教材大都是嚴謹的思辨的微積分體系。各種教材和教師講課通常都是從極限理論開始講授，并以極限為線索貫穿始終。缺乏以直觀、具體的方式來描述微積分，不利于學生系統地學習微積分的思想和方法。美國的微積分教材通過幾年的改革，已涌現出一批優秀教材。這些教材注意以多種表現形式向學生展現微積分的概念，處處從學生對概念的理解出發。通過比較可以發現，美國優秀微積分教材概念介紹詳細、直觀、通俗易懂，有著豐富的應用例題，涉及面廣泛，有物理、化學、生物、經濟、地質、氣象、天文、心理、社會科學等。這對在教材編寫過程中過分強調微積分自身體系的我國教育工作者來說無疑是很好的借鑒。如何在保持我們的優勢與特點的同時，加強微積分的幾何直觀教學、注重概念的理解以及實際應用，是值得我們思考與探索的問題。筆者認為現在必須加大微積分教材改革的力度，在適當考慮微積分自身體系的基礎上，一定要跟上時代的發展，滿足社會和經濟發展的需要。以前，我國使用教材中的應用部分內容多為傳統的教學范疇內容，而反映經濟學科、生命學科等目前比較活躍的學科的內容太少，換言之，微積分教學在應用方面的內容還遠遠滯后于時代的發展。因此，一方面在教材建設中必須加強應用方面的內容和例題，另一方面，在微積分教學中要充實和加強應用知識，特別是反映經濟學科、生命學科等方面的內容。

3．2教學方法改革

改革微積分教學可考慮從以下幾個方面著手。首先，改變傳統微積分以教師為中心，教學以講授為主，在教學中學生起著次要作用的弊端，強化參與式教學。教師的重要職責是為學生自主學習創造條件，幫助學生學習，學生成為教學的主角。學生也不是以聽課為主，而是在教師創建的環境下經過實踐將知識變成自己的。在學習中理解知識，體會數學本質，學會應用；第二，處理好所講述內容的嚴密性和清晰性。在教學過程中，部分定理可以給出嚴格證明，部分定理只提示定理證明的主要思路，而部分定理則可以不加證明，只需從一些簡單的例子中總結出定理的內容，并解釋如何應用即可。當嚴密性和清晰性相抵觸時，應該選擇清晰性；第三，處理好微積分教學中形式化和直觀化這對矛盾。當形式化和直觀化相抵觸時，應該選擇直觀化。加強學生對知識的直觀理解，降低學習的難度；第四，在教學過程中，巧妙植入數學文化，激起學習興趣。教師在教學過程中要有意識地滲透相關的數學文化，讓學生換個角度去觀察數學，以一種欣賞的眼光去看待數學，使學生感受到數學的美感與魅力，從而激發學習的興趣；第五，適時融入數學建模思想，增強實用訓練。如運用微積分中的導數知識解決實際生活中的用料最省、體積最大以及經濟理論中的最大利潤、最小成本、邊際、彈性分析等問題。定積分中的微元法也是應用中的有效方法，可以用來計算面積、旋轉體的體積、圖形的重心等。在教學過程中適時融入數學建模思想，對各專業特別是經濟管理類專業的學生更有助于專業課的學習及抽象思維能力的提高，使得學習經濟學和管理學變得容易，而且可以更完整、更深刻地理解和解釋經濟和管理理論；第六，加強微積分的驗證性實驗、計算性實驗、探索性實驗和綜合設計性實驗。將微積分看作實驗科學課程，強調實際操作和發現式學習。在實驗過程中，鼓勵學生通過執行計算機任務，自己發現最重要的數學結論。這些任務都是教師精心設計的，以促進學生數學概念的思維構建；第七，重視培養學生的創新能力。為了拓寬學生的知識面，培養學生的創新能力和應用能力，可以在加強應用性教學的基礎上，開始增設研究性課題作業。讓學生自己設計、參與探索知識和體驗道理的過程。它能使學生像研究者那樣，自主地發表自己的觀點，自主地進行創造性探索。研究性課題作業將學生置于發現者、探索者的位置，可更大限度地挖掘和培養學生應用數學的意識和能力。

3．3教學手段改革

首先，加強多媒體教學的運用。這樣一方面可以加大課堂教學的容量，另一方面可以進行圖形、動畫的直觀演示，強化教學效果；其次，將計算機和數學軟件引入微積分的教學過程。提倡、鼓勵學生利用計算機、計算器和數學軟件來研究微積分的概念和定理，研究函數的性質，讓學生學會在計算機的幫助下，利用所學知識解決實際問題。計算機的引入還可以減輕學生進行代數運算的負擔，使學生從繁重的計算中解放出來，將更多的時間用在概念上，加強概念的理解。此外，網絡技術的成熟和發展也使微積分教學可以考慮采用新的模式。可以考慮開設網上微積分課程，使教學不再局限于課堂，教學時空得到延伸，網絡使師生之間的交流更加方便，網上微積分教學論壇、網上微積分教學資源可以為學生提供更好的學習平臺。

作者：鄧留保 單位：安徽財經大學統計與應用數學學院