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國外數學思維的研究，在理論和實踐層面都給予了高度關注．其中，在理論層面比較有代表性的人物是弗賴登塔爾、斯托利亞爾、奧加涅相等，在實踐層面比較有代表性的人物是克萊因、道爾、波利亞等．以下著重介紹下國外實踐層面值得關注的數學思維研究．數學教育家舍費爾德在波利亞的解題系統基礎上，在《數學解題》中指出，數學解題的智力活動含有4個方面，其中在第2方面指出“啟發法則，即克服困難的思維策略”，在第3方面指出的“調控”就是思維活動之反思在起作用．舍費爾德認為在數學教學中，教學生如何去思考問題比教學生解決問題更重要，強調的就是數學思維的重要性．另外，在數學課程標準方面，新加坡義務教育階段數學教學大綱(新加坡尚未使用課程標準)的基本理念中指出“數學是發展和提高人的邏輯推理能力、空間想象能力以及分析和抽象思維能力的重要工具”，“學生在學習和應用數學的過程中發展計算能力、推理能力、思維技巧和問題解決能力”，數學思維和邏輯推理、空間想象、計算、問題解決等能力是并列的;新加坡高中數學教學大綱將數學分為H1、H2、H3等3個層次，H1和H2層次在教育目標中指出“發展數學思維和問題解決能力，并將這些技巧運用在問題解決中”，層次較高的H3層次則指出“在數學推理證明、創造性的數學問題解決和數學模型的使用中培養思維的嚴謹性”，對數學思維培養的要求更是落到了問題解決、推理證明、模型使用等實處．新加坡在2009年和2013年國際學術評估項目(PISA)數學素養測試中均僅次于上海，排名第2．對數學思維的重視，是取得如此成績的原因之一．近年來，土耳其葉迪特佩大學KILI?，Hülya等就小學六年級學生數學思維技能教學中使用素材進行了實證研究;西班牙阿利坎特大學FernándezC等就小學教師對學生問題解決中的數學思維關注進行了理論研究．這2項研究是對小學領域的研究，但其研究方法和研究成果的使用范圍是可以延伸到中學，甚至大學的．
2國內數學思維的研究
如果說國外的相應研究更加注意對于實際數學思維過程的深入考察，那么，國內關于數學思維的研究則是一種規范性的研究．總體上，數學思維研究可歸納為3個方向:為思維而數學思維、為數學而數學思維和為教育而數學思維．數學思維研究的開端和第1個方向是“為思維而數學思維”，也即從一般思維出發研究數學思維．20世紀前，國內數學思維研究“所建構的‘數學思維論’的基本理論框架往往就是從一般的思維論研究中直接借用過來的”．甚至于近幾年剛出版的某些“數學思維論”的著作，所建構的“數學思維論”的基本理論框架也是從一般的思維論研究中直接借用過來的．只是在數學思維的形式與方法上作了一定的延伸和拓展．例如，將數學建模等新的數學思維的形式與方法融入進來，從思維研究的最新成果“左腦思維”和“右腦思維”等角度來審視數學思維．數學思維研究的第2個方向是“為數學而數學思維”，也即從數學特殊性出發，來研究特有的數學思維．王仲春認為:“數學思維是指人類關于數學對象的理性認識過程，包括應用數學工具解決各種實際問題的思考過程．”王梓坤院士在《今日數學及其應用》一文中指出，當代數學思維是一種定量思維，通過對數學問題的提出、分析、解決、應用和推廣等一系列工作，以獲得對數學對象的本質和規律性的認識過程．這一方向的數學思維研究，不再單單是從一般思維出發研究數學思維，開始從數學特殊性出發來研究數學思維．當下，數學思維研究的第3個方向是“為教育而數學思維”，也即指向數學教育(甚至于數學教學)的數學思維研究，服務數學教育(教學)．這一研究方向的代表學者，在國內可追溯到孔子．《論語•述而》中有:“子曰，學而不思則惘，思而不學則殆．”這里，孔子指出了學與思之間的關系，特別是前半句更是強調了“思”對于“學”的重要性，強調學習知識之后，需要再進行思維層面的理解和感悟．當代比較具有代表性的是任樟輝在1997年的著作《數學思維論》中提出“從數學思維的角度看，學生是思維的主體，教師是學生思維的主導，而思維的材料就是教材或數學知識”;其在2001年的著作《數學思維理論》中又指出“數學思維是針對數學活動而言的，它是通過對數學問題的提出、分析、解決、應用和推廣等一系列工作，以獲得對數學對象(空間形式、數量關系、結構模式)的本質和規律性的認知過程”．另外，也在1997年，郭思樂和喻緯出版的《數學思維教育論》，更加直接地從數學思維教學目的論、數學家的數學思維論、數學思維教育過程論、數學思維觀念論和數學思維教學論等5個方面進行了詳細的闡述．同時，曹才翰等認為“數學思維形成的過程是主體以獲取數學知識或解決數學問題為目的，運用有關思維方法達到認識數學內容的內在的信息加工過程”．隨后，鄭毓信在其著作《數學思維與數學方法論》中，也提出數學思維研究應“為數學教育服務”;單墫則更加具體地提出“考慮中學數學教材、大綱或是課程標準時，不能僅考慮實用性，不能簡單地羅列數學知識，而更應當考慮需要培養哪些思維品質，如何去進行思維的訓練，充分發揮數學是思維的科學的特點．”此后至今的10多年，為教育而數學思維的相關研究不斷深入．這在數學課程標準中有著明顯的體現，其中具體涉及“培養哪些思維品質”和“如何去進行思維訓練”．對于“培養哪些思維品質”，2011年頒布的《義務教育數學課程標準》中有強調抽象思維、推理思維、創造性思維、形象思維，2003年頒布的《高中數學課程標準》中有強調理性思維、抽象模式、結構研究事物的思維方式、批判性的思維習慣、邏輯思維、統計思維與確定性思維、直觀思維．對于“如何去進行思維訓練”，2011年頒布的《義務教育數學課程標準》在學有余力的學生、提高思維水平、必要的板書、信息技術、教學方式的多樣化、評價方式等方面進行了一定的闡述，2003年頒布的《高中數學課程標準》在數學的應用價值、科學價值和文化價值、算法的基本思想、數據收集與處理、嚴格的邏輯法則、框圖、復數的一些基本知識、現代計算機技術等方面進行了一定的闡述．同時，2011年頒布的《義務教育數學課程標準》也強調“教材內容的呈現應體現過程性”，這對于學生“形成良好的數學思維習慣有著重要的作用”．顯然，“為教育而數學思維”的研究是當下數學思維研究的主流方向，以下對此作進一步介紹．
3為教育而數學思維的研究現況
最早“為教育而數學思維”，在數學思維研究的前2個階段也有出現，但都還只是“在相應的一般性理論框架中嵌入若干數學的例子”．這些數學教育案例盡管在一定程度上起到了一定的作用，但其價值是不大的．近年來，“為教育而數學思維”的研究不斷深入，呈現出以下4個方面的研究．
3．1從數學知識出發
周宇劍從數學符號語言教學的角度探討了促進數學思維發展的有效途徑，強調“加強數學符號語言類比和符號提示功能教學，培養學生將數學敘述語言轉換成數學符號語言的能力，引導學生正確理解數學符號的含義并規范符號書寫，促進學生數學思維的發展”．楊寶珊等對數學史與數學教育(HPM)進行思維研究，對數學史與數學教育的有關現象進行思維描述，查明人類思維在該領域中的具體表現，找出應有的思維資源(包括數學思維資源和一般思維資源)，并給出了“數學史與數學教育”思維訓練的內容和方式．前者是基于學生角度，后者則是基于教師角度，2個方面的研究給予了從對應數學知識出發進行數學思維研究非常好的示范和參考．
3．2從數學能力出發
蔡金法曾提出“數學概括能力是數學能力的核心”，林崇德在其提出的數學能力結構觀中也以數學概括為基礎，但也指出“加強數學概括能力的培養，重點放在培養學生的思維品質上”，同時他的數學能力結構觀除了以數學概括為基礎外，還包括3種基本能力(運算能力、空間想象力和邏輯思維能力)與5種思維品質．曹才翰等從數學能力角度探討了數學思維的重要性，其中曾進一步提出“邏輯思維能力是中學數學教學中要培養的數學能力的核心”．同時，蘇建偉對數學元認知與數學思維品質的相關性進行了研究，提出如何通過培養學生的數學元認知能力來優化學生的數學思維品質．從中可以看出，數學思維在數學能力中處于非常重要的地位，可以說數學思維的能力和品質是數學能力的核心體現．
3．3從學習方式出發
夏小剛、呂傳漢等在跨文化視野下對中、美學生數學思維差異進行了比較研究．研究發現，在問題解決中，中、美2國學生的數學思維具有明顯的差異性，主要表現為:中國學生偏于使用抽象的策略和符號表征，而美國學生則往往比中國學生更頻繁地使用視覺的策略和表征．王霞進行了以草稿為載體訓練第2學段學生數學思維的研究，通過分析和訪談研究學生的草稿，發現了導致學生思維受阻的6個原因，從而根據第2學段學生的思維現狀以及所存在的問題，提出了第1學段學生以草稿為載體的數學思維訓練的有效對策．中外學生數學思維方式的比較研究，能給予思維研究很好的導向;而立足本土的數學思維實證研究，則能給予思維訓練以很好的具體啟發．同時，數學思維活動在學習方式角度的表征，還有數學認知、數學反思等．數學認知方面，李玉琪在其《元認知開發與數學問題解決》中詳細論述了元認知知識的統攝作用之數學思維模式的規范作用．數學反思方面，惠敏悅對數學解題過程中的反思性學習進行了研究，敘述了古今中外對于反思的各種認識和研究，并根據教學經驗以及對于反思的理解嘗試了2種新的教學模式．鄭毓信以國際上的相關研究為背景，對小學數學教學中如何突出數學思維進行具體分析，提出初等數學中數學思維的3種基本形式:數學化、“凝聚”、互補與整合．數學化是指初等數學中“日常數學”向“學校數學”的數學化;“凝聚”是指初等數學中算術以及代數概念由“過程”向“對象”的轉化;互補與整合是指同一概念的不同解釋、同一題目的不同解題方法、形式和直覺之間所存在的重要的互補和整合關系．
3．4關注數學思維的弱勢群體
劉曉菁對高中女生數學思維品質進行了研究，通過自然觀察和訪談調查，具體而客觀地描述了高中女生數學思維品質方面的情況及特征，從而提出了如何改進女生的數學學科學習以及培養高中女生的數學學科思維的幾點建議和措施．小學生、女生等數學思維訓練的弱勢群體，在近年來不斷得到重視，相關研究也還在繼續進行之中．
4進一步思考
可以預見，數學思維研究將引領數學教育，同時“為教育而數學思維”的研究方向將在提升學生的數學學科學習力、加強教師的“數學思維”意識、實證研究有待得到重視、進一步關注數學思維的弱勢群體等方面將得到進一步的深入．
4．1數學思維研究將引領數學教育
當下，應該本著“數學教學是數學思維活動的學與教”來明確數學教育的核心、途徑和主體．其中核心是數學思維，途徑是數學思維活動，主體是學生．實現基于數學思維的數學教育三維目標，掌握數學知識和技能，體驗數學思維的過程、學習思維的方法，提升數學學科學習力，實現數學素養的提升．周春荔《數學思維概論》一書中也提到了“數學教學本質是數學思維活動的教學”．進入21世紀，數學思維研究將引領數學教育．
4．2提升學生的數學學科學習力
在實現基于數學思維活動的數學教學三維目標中，當下最為迫切的研究應當是提升學生的數學學科學習力．這可以從學習和教學2個方面來論證:從學習方面來看，當前課堂教學改革的核心目標之一是提升學生的學習力，而數學能力的核心體現在數學思維的能力和品質，因此數學學科學習力的要素需圍繞數學思維來構建和組織，從而形成成熟的運作模型;從教學方面看，從數學知識的教學到數學素養的教學，數學思維的教學是必經、必由之路．
4．3加強教師的“數學思維”意識
數學教師的職責在于提高“數學的社會實現能力”，具體包括2個方面:一方面是面向學生做數學教學工作，普及數學思想、知識、技術;另一方面則是對學生進行科學系統的數學思維訓練等．前一方面是數學教師普遍重視的，但后一方面由于現實的多方面問題卻沒有太多精力給予應有的重視．但從學生的成長上來說，數學思維起著非常重要的作用;從數學教師的專業化上來說，數學思維研究、數學思維在教學中的應用等研究能夠促進教師的專業成長．
4．4國內數學思維的實證研究有待得到重視
國外數學思維的研究多為實證研究，但在國內卻多為理論研究．然而數學思維是按照一般思維規律認識數學內容的理性活動，它的這一本質決定著數學思維實證研究的重要性．另外，數學思維的實證研究也能夠更加具體地指向教學策略．數學思維實證研究具體可以從2個維度進行:學生角度和知識角度．學生角度，可以通過調研等方式具體探究學生數學思維的薄弱點和培養方式;知識角度，可以通過對具體數學知識下的數學思維進行教學實驗式的研究．
4．5進一步關注數學思維的弱勢群體
從已有的研究中可以看出，小學生和女生是數學思維的弱勢群體，而且也已開始得到關注．除此之外，還有少數民族學生這一數學思維的弱勢群體，也應得到較多的關注．近年來，代欽已論證了不應進行“少數民族學生學習數學的思維水平的研究”，而應進行“少數民族學生學習數學的思維特征的研究”，相信隨著數學思維研究的不斷深入，小學生、女生以及少數民族學生等數學思維弱勢群體會得到進一步關注。
作者：陸吉健 朱哲 單位：浙江師范大學教師教育學院
