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線性代數教材范文1

關鍵詞：線性代數；教材改革；矩陣；解析幾何；抽象概念

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）24-0038-02

《線性代數》做為大學數學教學的一門公共重要基礎課之一，主要研究有限維空間的線性關系問題，是高等學校理、工、農、醫、經管等類專業學生的必修課程。作為離散化和數值計算理論基礎的代數理論，《線性代數》成為解決科學技術的諸多領域，如物理、化學、控制理論、工程技術、經濟與社會科學等學科中以及數學學科中的概率統計、微分方程、最優化等的強有力的數學工具。《線性代數》邏輯性強，比較抽象，前后知識聯系緊密。隨著信息化時代的到來，本課程的作用顯得尤為重要。《線性代數》課程教學注重數學基礎的培養。通過對它的學習可以培養學生的抽象思維能力、邏輯思維能力、數值計算能力和空間想象能力。《線性代數》學時少，難教難學，很多概念學生難以理解。相對其他課程如《高等數學》、《概率論》，在考研的數學總分中占的比例與學時相比最高。學生期末考試成績分數的高低完全可以反映學生掌握《線性代數》這門課程的好壞程度。通過試卷分析對學生思維的偏向可以定性的把握，也可以在《線性代數》的教學實踐中思考教材改革的方向。

一、要重矩陣輕行列式

在《線性代數》中，凡是用行列式求解的問題，基本上都可以用矩陣求解。一個大學生寫到：《線性代數》課程，從一開始就充斥著莫名其妙。比如說，在全國一般工科院系教學中應用最廣泛的同濟線性代數教材（現在到了第四版），一上來就介紹逆序數這個“前無古人，后無來者”的古怪概念，然后用逆序數給出行列式的一個極不直觀的定義，接著是一些簡直犯傻的行列式性質和習題——把這行乘以一個系數加到另一行上，再把那一列減過來，可就是壓根看不出這個東西有什么用。

我們曾在期末考試中考過這樣一道題：x■-x■-x■+x■=0x■-x■+x■-3x■=1x■-x■-2x■+3x■=■求解線性方程組x■-x■-x■+x■=0x■-x■+x■-3x■=1x■-x■-2x■+3x■=■。

這道題顯然有解，不僅有解，而且有無窮多解。這道題應該用初等變換的方法求解，但是有相當一部分學生竟然用行列式的方法求解，有學生把下列式子當成了行列式，竟然算出了1 -1 -1 11 -1 1 -31 -1 -2 3=0。

也不知他們怎么算出來的，真難為他們了。這顯然是先入為主的思維方式束縛了他們的思想。人類都有先入為主的思維怪圈，那為什么不能在編教材的時候就克服這種思維模式呢。

二、要抽象與幾何意義并重

我國教材的一個重大缺陷就是不注意從幾何圖形引入線性代數的概念，不用圖說明問題。國內有很多改革《線性代數》教材的例子，例如大多數的名字叫《線性代數與空間解析幾何》、《線性代數與幾何》、《代數與幾何》或《幾何與代數》，他們大多是簡單的“1+1=2”的疊加。講幾何時只講幾何，不通代數；到了講代數時又不通幾何，沒有產生“1+1>2”的效果。他們沒有把《線性代數》與《空間解析幾何》這兩門課程有機地、實質性地融合在一起，沒有對線性代數中有的內容很好地進行幾何的解釋。例如國內某通用教材在向量的內積一節中的一個例子，已知a1=111，求一組非零向量a2，a3，使a1，a2，a3兩兩正交。書上的解題思路是利用內積的定義知a2，a3應滿足a1Tx=0，即x■+x■+x■=0。求出這個方程的基礎解系，再把基礎解系正交化。學生往往認為答案只有那么幾種，思路不開闊，往往限制在了線性代數的方法里了。利用《空間解析幾何》的方法可以這樣分析，先求出通過坐標原點并且垂直于a1的平面x■+x■+x■=0，然后在平面上任意求出兩個相互垂直的兩個向量即可。這樣學生頭腦中就有一個幾何的形象，答案就會千變萬化了。

三、數學軟件與線性代數的結合

國內的《線性代數》改革，多側重于課程內部概念的講法，不注意引進新技術，沒有用現代化的計算和教學工具。我們在期末考試中考過這樣一道題：用逆矩陣求解線性方程組x■-x■-x■=0x■-x■+x■=2x■-x■-2x■+=-1，答案是x1=2，x2=1,x3=1。但有的同學用行列式求解，有的同學用高中學的方法求解，還有的同學用初等變換的方法求解，即使用逆矩陣求解也是錯誤百出，得分率很低。這說明現在的學生計算能力很差，現在在大學里進行計算能力的訓練為時已晚，如何補救呢？線性技術廣泛存在于科學技術的各個領域，而借助于編程更是離不開線性化方法。教師在教學中應把培養學生的計算能力轉變到培養學生應用數學知識和利用Matlab、Mathmatica、Maple等數學軟件求解相應章節的問題，讓學生認識到數學與計算機結合的重要性。

四、具體背景、具體實例引出抽象概念

現在的絕大部分《線性代數》教材中實例幾乎沒有，多側重于課程內部概念的講法。我在研究生矩陣理論的教學中，學生問我學習線性空間與線性變換有什么用，我一時難以回答。在學生學習《線性代數》理論中的很多概念時，可能大腦一片茫然，這些概念有什么用？在國民經濟和中國民生的重大問題、在歷史上各門科學研究中的核心問題中有沒有利用《線性代數》的知識與方法解決的？《線性代數》與實際嚴重脫節。

參考文獻：

[1]同濟大學.線性代數[M].第五版.北京：高等教育出版社，2007.

線性代數教材范文2

關鍵詞:現代教育技術;籃球裁判員;可行性

籃球裁判員的培養是一項長期和系統的訓練過程，一方面籃球運動的對抗性和瞬時性以及復雜性對籃球裁判員的技藝性有很高的要求，另一方面成為一名優秀的籃球裁判員不僅儲備充沛的體能，縝密的觀察力和靈活的應變能力，同時，要具備良好的籃球裁判的基本功以及對最新籃球規則的熟知。縱觀我國高校對籃球裁判員的培養既沒有系統的培訓體系又缺乏臨場實踐的機會和及時反饋評價。此外，在高校體育院系由學生擔任的籃球裁判員的比賽中，經常出現引發爭取的判罰甚至引發肢體沖突的現象，這不得不引發我們對高校體育院系籃球裁判員的培養進行思考。換句話說，從傳統對文字和圖片對籃球裁判員知識和技能傳授過渡到現代教育技術對高校體育院系籃球裁判員的培養是大勢所趨。因此，本研究基于現代教育技術對高校體育院系籃球裁判員培養的可行性進行研究，旨在拓展對高校籃球裁判員的培養。

1．現代教學媒體的種類

教學媒介是教師在教學過程中輔助教學的工具，也是教學內容的一種表現形式。一般來說，教學媒介包括電影、多媒體、幻燈機以及計算機等電子媒介和技術，主要作為教學的載體來傳授教學信息［1］。現代教學媒體不同于以往文字和圖片進行的靜態教學，而現代教學媒介通過音頻、視頻、文本和圖像以及解說的呈現，不僅能激發學生的學習興趣而且在多維互動的教學中便于學生對知識的掌握，進而提高學習效率。與此同時，把現代教學媒體技術手段，譬如微信裁判群、籃球培訓在線課件、籃球裁判員培訓光盤以及裁判員遠程培訓等引入高校體育院系籃球裁判員的培養體系之中，必將促進高校體育院系籃球裁判員培養水平提升。

2．現代教學媒體在高校體育院系籃球裁判培養中應用的重要性

2．1動作的瞬間性

籃球運動從美國體育教師詹姆士•奈史密斯發明至今已走過一百余年時間，一方面籃球技戰術也從最初幾條簡單的規則已經演變成一套復雜和系統的籃球規則，另一方面籃球技戰術也不斷革新和發展，促進了籃球比賽的觀賞性［2］。而籃球運動員所展現的動作瞬間性是籃球比賽的重要組成部分，比如金州勇士隊的庫里，眼花繚亂的運球加上一氣呵成的超越距離投籃，讓人嘆為觀止。又如“林瘋狂”林書豪所展現的快速犀利的突破讓人防不勝防等。正是籃球比賽動作的瞬間性，不僅容易造成防守隊員的犯規而且對裁判員的眼力和觀察力提升也有很高的要求，而通過現代教學媒體運用在高校體育院系籃球裁判員培養之中，可以模擬不同的情景下訓練籃球裁判員的注意力和反應能力，甚至通過視頻的慢動作回放對籃球裁判技術進行解讀。因此，現代教學媒體在高校體育院系籃球裁判的培養中發揮重要作用。

2．2同場對抗性

從近幾年國際籃聯對籃球規則的修改頻次和修訂的力度來看，注重籃球比賽的對抗性以及提升籃球比賽的觀賞性是籃球規則修改的主要宗旨［3］。眾所周知，籃球比賽是集體項目，與足球場地相比，籃球比賽場地顯得非常小，加上場上十名球員和三名裁判員，因此，籃球比賽的對抗不僅局限于場地上的對抗，而且還延伸到高空的爭奪。頻繁的身體接觸是現代籃球比賽的真實寫照，尤其籃下三秒區的爭奪可以用“肉搏”形容也不為過，而對身體接觸判罰的準確性是衡量一名優秀籃球裁判員的重要標準之一。這需要籃球裁判員在場上的及時跑位以及對籃球規則吃透的基礎上，靈活并及時的做出判罰。可見，籃球裁判員需要在多情景下進行訓練，方能提高自身的執裁水平，而多媒體技術和網絡計算機技術等現代教育技術能很好的滿足籃球裁判員這方面訓練的要求。從而不僅減少裁判員學習的時間而且還能提升裁判員培養的效率。

2．3攻守的快速轉換性

從2010年以來，國際籃聯對籃球規則修訂的次數及修改的力度明顯大于過去數十年。從最近幾年規則修改的精神來看，旨在加快籃球比賽攻守切換的速度，增加比賽的對抗性，進而提升比賽的觀賞度［4］。通常來說，籃球攻守的快速轉換，一方面要求運動員對體能儲備以及籃球基本技戰術的掌握提出了很高的要求，另一方面對籃球裁判員對臨場執裁的觀察力和瞬間的判斷力提出了更高的要求，同時，對籃球裁判員的體能也提出了更高的要求。因為籃球比賽節奏的加快，籃球裁判員每場球賽跑動的距離明顯要高于規則修改之前。綜上分析，面對瞬息轉變和復雜多變的比賽場景，籃球裁判員的培養離不開現代教學媒體的運用，比如視頻回放，計算機對執裁情況的分析以及通過網絡技術對裁判員技術的分解等。此外，可以通過網絡技術模擬不同情境下對籃球裁判員執裁的訓練，提高對籃球臨場比賽的應變能力。

3．現代教學媒體在籃球裁判員培養中應用的可行性

3．1PPT在籃球規則和籃球裁判法學習中的作用

熟知國際籃聯最新籃球規則以及裁判法精神是成為一名合格籃球裁判員的前提條件［5］。與此同時，國際籃聯的籃球規則與美國NBA職業籃球聯賽的規則又存在一定差異性，加上籃球規則是不斷發展和變化的。因此，面對如此龐大的籃球規則，對于剛開始接觸籃球裁判員訓練的高校體育院系的學生有點不知所措。所以，在講解籃球規則和裁判法方面知識的時候，可以采用PPT的形式，按籃球規則的性質進行分類，比如把國際籃聯規則與NBA規則不同的地方通過PPT進行展示，此外，對于籃球規則手勢等可以通過不同的圖片進行展示，并配上文字進行解說，讓學生對籃球裁判的知識有個直觀的了解。

3．2現代教學媒體重現臨場訓練法

現代教學媒體可以采用視頻慢放、動作拆解、動作對比等方式讓學生對籃球裁判員的跑動路線、位置的選取以及裁判手勢有個基本的了解［6］。與此同時，通過視頻和音頻結合的方式，讓學生感受優秀籃球裁判員鳴哨的聲音變化，并對不同位置裁判員鳴哨聲音的輕重急緩來辨別不同犯規的類型。學會鳴哨和辨識哨音是作為一名優秀籃球裁判員最基本的要求［6］。從某種意義上說，裁判員的哨音不僅是一種語言更是籃球賽場上的一種權威。因此，通過網絡技術和多媒體技術可以重現或模擬不同籃球比賽情景下籃球裁判員所做出的不同反應。從籃球裁判員的基本跑位和手勢到場上籃球裁判員的配合，甚至眼神的交流都可以通過現代教學媒體得以重現或觀摩，這對學習籃球裁判的高校體育院系學生來說是有積極影響效益的。一方面可以提高學習效率，另一方面提升自身籃球裁判的綜合素養也大有裨益。

3．3觀看裁判員執裁錄像提升臨場執裁技能

無論演員還是教師，通過仔細觀看和研究優秀電影或教學視頻資料對于提升自身的演技和教學會大有幫助。對于籃球裁判員而言亦復如此。通過觀看籃球裁判員的執裁錄像對提升自身臨場執裁技能也很大幫助。其一，通過視頻和音頻資料的呈現，有利于激發高校體育院系學生對籃球裁判學習的動力，而且明顯要好于單純采用文字和圖片的籃球裁判員培養方式;其二，通過對高水平籃球比賽裁判員執裁錄像的分析，可以直觀的觀看到裁判員在不同的情況下換位的情況以及所做的手勢情況;最后，觀看像奧運會以及NBA總決賽這樣高水平籃球比賽中裁判員的執裁錄像，可以全面學習世界優秀籃球裁判員的技術水平，而且通過慢鏡頭回放對比賽中錯判和漏判的情況進行分析，不僅找出問題的根源所在而且對提升自身籃球裁判員水平也大有益處。與此同時，通過一個個典型案例的學習，對于感悟比賽和領悟籃球規則以及裁判精神也有深遠的影響［7］。

3．4開展遠程籃球裁判員培訓

隨著網絡的提升以及移動設備和電腦的普及，開展遠程教育已經成為常態，而現代教育技術對高校體育院系籃球裁判員培養的可行性途徑之一在于開展遠程籃球裁判員培訓。具體來說，首先不同地區或不同單位開展遠程籃球裁判員的培訓需要搭建遠程教學平臺，比如多媒體教室以及遠程教學的網絡設備等［8］;其次聘用或組織國家A級或國際級籃球裁判員通過網絡遠程教學來指導籃球裁判員的培養。這樣不僅提升了優秀籃球裁判員教學的效率而且把最新籃球規則以及執裁的寶貴經驗傳授給遠程在線另一端的學生;然后，可以通過QQ群和微信朋友圈來實時更新內容，同時采用聲音、文字、圖片、視頻等形式來互動對所遇到的問題進行交流;最后通過開展遠程籃球裁判員的培訓，學員可以根據自身的情況合理安排學習進度，與此同時，遠程籃球裁判員培訓能既能很好契合高校體育院系學生自身的特點來提高籃球裁判技能的掌握，而且還能對培訓的結果及時反饋，并提升籃球裁判員培訓的效率。

參考文獻:

［1］郭宏本．利用電化教學手段促進教學過程最優化［J］．安徽工業大學學報:社會科學版，2012(1):46－48．

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［5］郗冰杰．論高校籃球裁判能力培養的必要性和可行性［J］．遼寧體育科技，2003，25(1):18－19．

［6］貢勇強，蘇波．現代教學媒體在體育教學活動中的作用與應用［J］．河北體育學院學報，2004，18(3):46－48．

［7］章建成，楊燁，張曉玲．現代教育技術與體育教育專業技術課程教學的整合［J］．上海體育學院學報，2009，33(1):75－78．

線性代數教材范文3

【關鍵詞】線性代數教學；數學思維；抽象性；實際應用

【中圖分類號】G643.2

【基金項目】西南民族大學代數類課程教學改革研究項目（2014QN12）

線性代數一直是高等教育中非數學專業類學生的核心基礎課程.這不僅體現在它是考研公共數學的科目之一，更體現在它的抽象性與應用性的高度統一.代數相對于幾何、拓撲等學科是較為抽象的一門學科，具備更多的數學文字符號.以西南民族大學的線性代數教學為例，理工科的學生通常選擇同濟版的線性代數教材.該教材首先介紹的就是行列式，這通常使得學生頓感抽象，導致學生學習代數的熱情大大降低，甚至到最后學生學習這門課程只是為了應付考試，以至于線性代數的教學失去了原本的意義.另一方面，抽象與具體本質上是統一的，這也是激發學生學習興趣的重要因素.而我們目前的線性代數課堂教學通常止步于抽象性，而對于線性代數的精彩應用被舍棄.本文以西南民族大學的線性代數教學為例，分析其教學現狀，提出線性代數教學中存在的難點，并給出相應的對策.

一、線性代數課堂教學現狀及其難點分析

西南民族大學非數學專業類理工科的線性代數通常設置為每周4課時（或5課時），共17周（或13周），總課時68課時（或65課時）.按照同濟版（第六版）的線性代數的前言所示，前五章的內容大約需要34課時.實際上我們現在的教學也就是講授到第五章.看似我們的課時大大超出大綱里提到的n時，實際上要完全理解線性代數的內容甚至是精髓，68課時或65課時是不夠的.此外，同濟版的教材是針對全國的高等院校，當然包含重點大學在內.而我們是民族院校，學生的數學水平差異較大，特別有一部分數學基礎較薄弱的少數民族學生（這主要是由民族聚居地區初等教育水平不高所決定），這使得數學教師要把握好講課的進度以及難易程度，自然加大了數學教師的授課難度.其次，線性代數的抽象性加大了學生學習的難度，同時也對數學教師的理論水平和授課技能提出了更高的要求.興趣是學生學習的最大動力，如何抓住學生學習線性代數的興趣，這就對教師的教學能力提出了更高的要求.比如，該教材的第一章就是講授行列式，顯得比較突兀，學生頓感抽象；第二章就是矩陣運算，矩陣就是一個數表，為什么要定義這些矩陣運算，這就好比“奉天承運皇帝詔曰”，從天而降的概念和運算.因此，如何引出這些理論或工具就顯得特別重要.最后，由于同濟版的線性代數教材習題有成套的習題參考答案，這就勢必造成部分學生為了完成任務照抄習題答案.這樣導致學生的學習能力沒有提高，教師也無法清楚地了解學生的學習情況.這些現象都是線性代數教學中的難點問題.如何改革線性代數教學現狀成為目前迫切需要解決的一個重要問題.

二、線性代數課堂教學改革策略

（一）從數學研究的歷史背景入手，打造邏輯生動的數學課堂

數學以公式之優美、理論之奇妙、論證之嚴密、應用之廣泛令人驚嘆不已！究其原因，數學的思維方式發揮著巨大的威力.數學的思維方式是一個全過程：觀察客觀現象，提出要研究的問題，抓住主要特征，抽象出概念，或者建立模型.按照“觀察―抽象―探索―猜測―論證”這一數學的思維方式去參與教學，這就使得學生比較容易學，而且可以享受學習數學的樂趣.比如，線性代數教材中的行列式和矩陣這兩大工具的引入，勢必需要從線性代數研究的中心問題出發來導出.什么是線性代數？線性代數干什么？“線性”就是“一次”，線性代數的主要研究內容就是研究多元的一次方程組與一次函數.一次方程組也稱為線性方程組.常數項為0的多元一次函數y=a1x1+…+anxn稱為線性函數，n個n元線性函數組成的函數組yi=ai1x1+…+ainxn（1≤i≤n）稱為線性變換.線性代數的兩大主題就是多元線性方程組與線性變換.線性方程組與線性變換可以由方程組或函數組中的系數排成矩陣來表示，通過矩陣運算來求解方程及解決相關的應用問題，其中最重要最基本的矩陣運算是初等變換和乘法這兩個算法.通過這樣的研究背景的介紹引入矩陣的概念，同時也說明了定義矩陣運算的必要性.因此，線性代數教學的第一步需要適當調整同濟版教材的教學順序，從解線性方程組出發，導出矩陣的概念和矩陣的初等變換的算法，利用高斯消元法求解方程.另一方面，特別要討論方程個數與未知數的個數相等且是唯一解的這一類線性方程組，除了通用的高斯消元法之外還有沒有其他方法？可不可以只利用方程組的系數和常數項直接求解？由此引入行列式這一符號（最初行列式的出現僅僅作為一個速記工具）.因此，正如北京航空航天大學李尚志教授所說：我們不是以“奉天承運皇帝詔曰”的方式從天而降概念、算法和定理，也不是在學生不知有何用處的情況下先學好算法再拿去應用，而是從研究的歷史背景和問題出發，在嘗試結局問題的過程中將所需的算法“發明”出來.

（二）將線性代數的實際應用適當地引入課堂教學中

線性代數研究的是最簡單的方程和函數，算法也比微積分少得多，按道理應當容易學.但實際情況是，多數學生學起來并不輕松.主要困難是太抽象.線性代數一開始就是一個接一個的抽象定義，使初學者難以理解.比如，行列式為什么這樣定義？矩陣為什么這樣相乘？線性相關、線性無關是什么意思，有什么用處？這些問題都讓學生，甚至很多講授線性代數課程的教師迷惑不解.因此，除了上述提到的從研究問題的歷史背景引入理論和工具之外，課堂教學還應注重理論和工具的實際應用.例如，利用二階行列式根據頂點坐標計算平行四邊形和三角形的面積；判斷線性方程組是否有唯一解實際上就是判斷系數矩陣各列是否線性無關；利用矩陣乘法來實現平面上和空間中的旋轉；計算空間中的旋轉軸時，實際上就是求特征值為1的特征向量，等等.當然教師選擇的問題，盡量是在現實生活和學生今后工作中有用的問題，并且希望是學生感興趣、容易懂的問題，因此也不需要選擇需要較多專業知識或綜合性太強的實際問題.這樣也使得學生看到發明出來的理論和工具并不僅僅局限于某一方面的應用，它們還能解決其他許許多多的問題.在科學研究中，用從許多事物中總結出來的結論和方法解決成千上萬的問題，這就是抽象的威力.因此，如果在教學中不舉任何實例，不講任何應用，只讓學生死記硬背，勢必導致學生害怕抽象，失去了抽象原本的意義.因而這不是抽象的錯，也不是學生的錯，而是教學方式的錯.

（三）設置針對線性代數應用的選修課

由于為線性代數設置的課時數主要是為了學生能學完基礎理論知識，因此線性代數課堂中補充的應用舉例就顯得相對較少.但在實際問題，特別是工程應用和理論中會遇到應用線性代數的知識和算法.因而，教師可以設置針對線性代數應用的選修課，以此強化學生對線性代數的理解和運用.

（四）習題評講中的舉一反三

由于現行的線性代數教材都有專門的習題參考書，這為某些想走捷徑的學生、只為應付作業任務的學生提供了便利.針對這一現象，教師可以適當地改編習題或布置其他參考教材中的練習，這是其一；其二，教師在評講習題時注重對理論的融會貫通，使學生抓住問題的本質，達到舉一反三.

（五）一學期安排一到兩次的數學文化知識講座

笛Э翁貿了理論知識的傳授之外，還需擴充一些相關的數學人文知識.數學的教學不僅傳授數學知識，使學生受到科學思維方式的訓練，而且還需要陶冶人文精神：客觀、公正、講理、嚴謹、勇于創新、堅韌不拔、靈活機動、謙虛謹慎，從而使學生終身受益.因此，在一學期的課堂教學中安排一到兩次數學文化知識講座是很有必要的.這樣讓學生了解數學家們是如何用數學精神探索并解決一個個數學問題，也讓學生感受到數學理論的創造發明與發展的來之不易，激發學生的探索精神，也加強學生無論在學習還是社會生活中的不畏挫折的能力.

三、結束語

我們通過分析西南民族大學理工科線性代數教學現狀，抓住其教學中的難點，并提出了必要的改革策略.在明確了線性代數教學的問題所在之后，更需要我們從事線性代數教學研究的教師豐富自身的數學內涵，拓寬自身的數學視野，在備課的過程中考慮全面，使其在課堂教學中真正體現數學的科學思維，使抽象理論與具體實際融會貫通，讓學生領略數學的風采.

【參考文獻】

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[6]Carl B Boyer，Uta C Merzbach.數學史（上、下）（修訂版）[M].北京：中央編譯出版社，1991.

線性代數教材范文4

關鍵詞：線性代數；教學改革；應用型

一、改革的意義及現狀分析

國內在上世紀80年代末開始了對大學數學教學改革的研究，許多專家學者認為教學改革不宜在大的方面如教學體系、教學模式作較大的變動，要在小范圍內做一些修修補補的工作，在大學數學的教學內容中加入一些計算機語言的課程作為選修課，逐步滲透計算機的思想。《線性代數》是理、工、經管類的專業大學生必修的一門數學基礎理論課程。目前，《線性代數》的大部分教材都沿用著線性方程組求解這條主線，從行列式到矩陣，到最后的向量和向量空間，每部分都是從理論到理論。這樣的教材給學生講授固然有助于學生理解，但是，每部分的內容和一些典型例子的來源背景卻很少提到，也不介紹每個理論的實際應用，甚至和實際聯系的習題都很少。其次，用數字運算太繁瑣，因此過去只好把“抽象思維能力”作為課程主要的培養目標，隨著計算機技術高速發展，現在有很多數學軟件可以計算《線性代數》中復雜的矩陣、行列式計算，尤其是對實際問題中的矩陣計算更是顯得便捷，而這與計算機結合這么緊密的一門課程，在現有的教材中竟然沒有得到體現，這樣培養的學生必然不能成為社會需要的具有實踐能力和職業技能的應用型技術人才。因此，加強應用型《線性代數》課程的教學改革勢在必行！此改革凸顯著它重要的價值和現實意義！

二、主要改革的內容

1.數學建模思想、數學實驗方法與《線性代數》課程有機融合。利用現代的計算工具，如Mathematica、Matlab、Maple等數學軟件，結合線性代數基本知識，對建立的數學模型求解。培養學生利用計算機解決實際問題的能力，重視《線性代數》的應用。

2.寫適合高等普通院校的教材。用幾何（直觀）的方式展現《線性代數》的內容。如方程組、矩陣的向量表示，方程組的解對應的向量幾何空間表示，解的維數，解空間等都可找到對應的幾何解釋，即用《解析幾何》解讀《線性代數》的理論。另一方面強調以矩陣、向量的思想貫穿整個教學過程，相對行列式的內容作輕處理，編寫教材時要融合代數理論與計算機算法。

3.進行網絡教學環境開發。目前已建設了《線性代數》課程網絡教學平臺，課題組將繼續研制習題庫系統、完善電子教案，豐富網絡教學資源。

4.將教師科研成果融入教學。本課題組成員均是代數學方向的研究人員，課程組成員結合自身的研究成果，在主編的《線性代數》教材中，將矩陣分析方法作為應用寫入教材附錄。全體教師均能結合數學建模思想與自身的科學研究進行教學。

三、改革目標

以先進的教學理念為指導，以提高學生素質和能力為中心，從教學內容和方法、教材建設、網上課程教學系統、教學研究等多方面進行改革和探索，結合數學建模的思想，在掌握《線性代數》基本方法的前提下，側重于對《線性代數》方法的應用，特別是在教學研究的理論層次與實踐效果上有所突破，并且力求做到代數方法與幾何方法的綜合。

四、改革的特色與創新之處

1.削“枝”強“干”。《線性代數》課程的“干”是矩陣理論、線性方程組解的理論、實向量空間的結構理論，而行列式理論與復雜的線性關系的討論是《線性代數》課程的“枝”。課程內容改革大膽削減了“枝”所占的篇幅，重新組織矩陣理論、線性方程組解的理論、空間結構理論。

2.以線性問題的數學建模為出發點。結合數學建模，利用Mathmatical、Matlab、Maple等數學軟件，使學生能夠利用計算機來處理繁雜而笨拙的《線性代數》求解計算過程。

3.《線性代數》課程與幾何思想的有機融合，重新構建《線性代數》學科的知識內容。

4.制作《線性代數》緒論課通用教案與課件；發掘《線性代數》在不同專業的應用。

5.建立《線性代數》教師學生交流平臺。

五、本項目擬解決的關鍵問題

1.數學建模實例的遴選。課程中數學建模實例的選擇既要從《線性代數》課程自身的科學體系出發，又要考慮到各級學生的接受認知能力及各專業的特點，并且還要兼顧到盡量選擇現實生活中的例子，讓學生感受到利用數學可以解決越來越多以前曾被“認為”和數學無關的領域中的問題。因此恰當的實例的遴選是課題組成員首先需要解決的關鍵問題。

2.教材中數學實驗部分的編寫。用Mathematica、Matlab、Maple等數學軟件，解決《線性代數》課程中遇到的各類計算問題，使學生體驗到數學實驗的使用和在解決實際問題應用的方法以及處理海量計算的強大功能。

3.課程理論部分教學體系的重新構建。改革力求做到代數方法與幾何方法的綜合。《線性代數》是代數學中研究線性問題的學科，是處理離散量的基礎；《解析幾何》是用代數的方法研究幾何問題的學科，力求用《線性代數》的方法去抽象《解析幾何》，用《解析幾何》去形象化《線性代數》，在《線性代數》與《解析幾何》的主要內容之間建立新體系.

六、實施方案及方法

1.課題組成員組織學生建立數學建模興趣學習小組，解決具體的問題，加強學生應用方面的能力，利用現代的計算工具，通過建立數學模型和求解，加強實踐實驗教學的輻射范圍，從而加大信息技術在《線性代數》課程建設中的應用，并充分發揮其優勢。

2.在師資培養、教學管理方面，強化已有的青年教師的培養方案，探索與時俱進的培養和管理新方法，使青年教師盡快成長起來。

3.充分利用網絡教學平臺，建立師生網絡互動教學工作，豐富師生間的溝通途徑。提高現有教學設備的利用率，更新和補充教學新設備。

4.采用多種途徑，擴展教師與學生之間的溝通途徑。為了便于學生與教師之間溝通，可以通過設立信息收集箱、安排固定的答疑時間、答疑地點、依托網絡教學平臺等方式。學生能夠積極利用這些途徑，提高學生的學習積極性。

5.積極開展《線性代數》課程研究性教學。

6.通過定期舉辦教學研討會，對《線性代數》課程的教案撰寫、教學大綱的理解、教學內容的處理、教學環節的把握、難點與重點的分析等方面進行研討，形成豐富的教學資料，為教學提供豐富的指導性參考。

改革力求做到代數方法與幾何方法的綜合，并用Mathematica、Matlab、Maple等數學軟件，解決《線性代數》課程中遇到的各類計算問題，加強應用型《線性代數》課程的教學改革勢在必行，因此，改革凸顯著它重要的價值和現實意義！

參考文獻：

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[4]楊德貴.高等代數與解析幾何一體化教學改革的探索[J].貴州師范大學學報，2005，23（4）：97-100.

線性代數教材范文5

【關鍵詞】線性代數；教材改革；教學方式改革

Teaching research of Linear algebra teaching-improvement

Huang Hui

(Changchun College of Architecture Jilin Changchun 130000)

【Abstract】The author points out the problems and dismerits in the teaching of linear algebra with the practical teaching experience, realizes the necessity and urgency of deepening teaching improvement, and puts forward the improvement of teaching-material and teaching-method.

【Key words】Linear algebra;Teaching material-improvement;Teaching-method- improvement

1.引言

“線性代數”是高等學校理工科和經濟學科等有關專業的一門重要基礎課。它不僅是其他數學課程的基礎，也是各類工程及經濟管理課程的基礎。我校教學處于二本和專科、職業教學之間，即培養學生掌握基礎理論知識的能力使其成為應用型人才。而陳舊的教材、教學內容和落后的教學方式更加重了學生對該課程的枯燥感，甚至產生畏懼和排斥心理。可見，線性代數課程的教學改革迫在眉睫。

2. 教學改革可分為以下兩方面

2.1 教材改革。

（1）教材是學生獲取信息的直接手段，教學改革關鍵在于教材改革。中國科學院院士李大潛指出：“數學的教學不能和其他科學和整個外部世界隔離開來，只是一個勁地在數學內部的概念、方法和理論中打圈子，這不利于了解數學的概念、方法和理論的來龍去脈，不利于啟發學生自覺運用數學工具來解決各種各樣的現實問題，不利于提高學生的數學素養。在開設和改進數學建模課程的基礎上，逐步將數學建模的精神、內涵和方法有機地體現到一些重要的數學課程中去，并在條件成熟時最終取消專門開設的數學建模類課程，或將其變為課外訓練的輔助環節，應該是一個努力地方向［1］。”

（2）以往線性代數教材基本以前蘇聯數學教材為模板，比較注重嚴謹的邏輯性和表述形式的數學化，風格較為嚴肅；授課方式多采用“概念——定理——習題”的模式，多是按照行列式、矩陣運算、 維向量、線性方程組求解理論、特征值與特征向量和二次型等知識點的順序編寫章節。基本是在數學專業領域研究數學，而不是結合各專業領域研究教學，知識面較窄，從而忽視了基本概念的物理背景，忽視了學生跨領域能力的培養，和實際應用結合不夠緊密。其結果學生都知道其重要，但都不知道其重要意義在哪。只知其然，不知其所以然。

（3）因此，教材編寫時，在引入概念前，可通過引例，介紹其應用背景，或在章、節后精選涉及工程技術、經濟管理、社會科學以及數學其他分支等諸多方面的應用實例，與此同時數學建模的思想與方法，數值算法的思想和數學軟件的引入對線性代數的教學也有很大幫助，一方面可以拓寬學生的知識面，活躍學生的思維方式；另一方面通過實例把數學和其它領域結合起來，使學生在學習線性代數的時候不會感到空洞、單一和枯燥，既提高了學習興趣也提高了應用線性代數知識解決實際問題的意識和能力，從而發揮了線性代數的實用性。如在矩陣的特征值章節，就可以結合結構力學實例，說明矩陣的特征值在振動問題中的實際物理意義，使學生真正體會如何運用線性代數理論和計算去解決實際工程問題。

2.2 教學方式改革。

2.2.1 重視緒論課。線性代數主要學的是什么？有什么用？很多學生學過一段時間后仍不能回答這一問題。緒論是一門課程的開始，學生對一門課程的總體印象如何，是否感，都是從第一堂課獲得。緒論課要完成兩個任務：

（1）課程的知識體系是怎樣構架的；

（2）其可應用性在哪。線性代數主要討論線性空間和線性變換。通俗講法為：“一個中心，三個基本工具［2］”。以解線性方程組為中心，矩陣、行列式和向量空間為求解用的三個基本工具。線性方程組廣泛應用于商業、經濟學、社會學、生態學、人口統計學、電子學、工程學、物理學、計算機科學等領域。有統計稱，超過75%的科學研究和工程數學問題，在某個階段都涉及求解線性方程組。這樣從第一印象上，給線性代數的學習設計一個應用環境，使學生感到線性代數離自己不遙遠也不神秘，進而對其產生學習興趣。

線性代數教材范文6

【關鍵詞】線性代數 矩陣 線性方程組 最小二乘近似

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）30-0007-02

線性代數是高等數學中最基礎的部分，隨著科學技術的發展，線性代數幾乎運用于所有科學研究中，因而它是大學理工科和經濟類各專業學生的重要基礎課之一。然而另一方面，這門課程內容相對抽象，加之國內教學長期以來獨立講解各種概念和定義、過分強調定理的證明而忽略其實質和幾何背景，使得初學者感到非常困難和枯燥。這種教學就好像把這門學科拆成了碎片，對每一部分進行詳盡、瑣碎的考察。每一細節都弄清楚了，而完整的形象卻消失了。在線性代數的教學過程中，存在以下問題：（1）線性代數課程自身的特點：抽象概念較多，邏輯思維能力要求較高。（2）課時量少。多數高校非數學專業的線性代數課時數都較少，一般為30～40課時之間，造成了課程教學要求和教學課時量之間的矛盾，從而使教師在講授這門課程時有較大難度和挑戰。（3）國內線性代數教材編排沿用數學專業《高等代數》課程體系和思路，重基礎、輕應用，使學生感覺學習存在困難。

國內已有很多教師在解決上述問題方面做了有益的嘗試。線性代數這門課程有兩個重要的特征：（1）它有極強的幾何背景；（2）作為應用，它為許多科學問題的解決提供了必要且有力的工具。我們在授課中緊扣這兩個特征，從問題出發，利用線性代數的幾何直觀使學生掌握線性代數的基本思想、方法和技巧。

一 在教學中突出幾何直觀

線性代數名曰代數，處理的卻是幾何對象：向量空間及其變換。向量是最基本的，也是學生比較熟悉的數學概念，向量及其運算和性質也是線性代數中的最基本元素。因而，教學開始就向學生重點介紹向量的有關知識和運算（點積、線性組合等），并結合二維和三維時的幾何直觀。當學生熟悉了向量及線性組合的概念和幾何意義之后，線性方程組和

空間就是很自然的概念了。以二元線性方程組 …（1）

為例，這是學生在小學時就用過的數學工具，而且知道它的幾何意義：求直線2x+y=0和直線x+2y=1的交點坐標。

如今我們可將（1）式記作： …（2）。這樣，

2元線性方程組又具有了特殊的含義：要使得向量 是向量

和 的線性組合，求組合系數x和y。而集合S=

便是由向量 和 生成的2維空間。

還可以利用點積的定義將（1）式記作： …（3）

這是在線性代數中線性方程組的表示方式。集合S即為矩陣

的列向量組生成的空間，又顯然（1）式是有解的，這

也意味著向量 。更重要的是：這里給出了矩陣的乘法

定義，也為“線性變換”這一線性代數的核心概念埋下伏筆。

如此看來，線性代數就是從解決最基礎最原始的問題――“求解線性方程組”而發展出來的一門學科，在二維情形下其幾何直觀是我們早已熟知的。接下來要做的是將其推廣到高維情形并詳細討論。而令學生費解的矩陣的乘法定義就是若干向量兩兩之間的點乘，它也來源于線性方程組，是很自然的定義。由此，我們從幾何直觀出發，對線性方程組進行刻畫，使學生領會線性代數的基本思想和方法。

二 線性代數的應用

線性代數處理的對象主要是向量空間及其線性變換；處理的工具主要是矩陣。通過線性方程組，我們對矩陣的概念、特性、運算及在解線性方程組中的應用等知識有所了解。我們闡述一個線性代數應用的例子，更好地說明線性代數作為“工具”的本質。而這個例子本身也可以體現學科之間的互通和數學的美妙。

如圖1，設a，b∈R2，設向量 是b在a上的投影，稱e=b-p為該投射的誤差。因為e與a垂直（正交），所以

，解得 。即： …（4），令

，顯然PT=P且P2=P，我們稱P為投影矩陣，（4）式

的含義即為“b在a上的投影=投影矩陣P左乘向量b”，而性質P2=P可以理解為“投影的投影還是投影本身”這一幾何直觀。

下面我們推廣到大于二維的情形，設有線性無關的m維向量a1，a2，…，an，S是a1，a2，…，an生成的子空間，令b∈Rn，且 。設 是b在S上的投影，其中A=[a1，a2，…，an]，誤差為 （如圖2）。因為e垂直于S（即e與S中所有的向量正交），所以ATe=0，即 ，因為a1，a2，…，an線性無關，所以方陣ATA可逆。因此解

――――――――――――――――――――――――――

* 四川外國語大學教改立項項目――外語院校金融專業數學教學模式研究（編號：123219）

得 。即 。

同二維一樣，我們稱矩陣P=A（ATA）-1AT為投影矩陣，顯然PT=P且P2=P。

圖1 圖2

注：圖1為向量b在向量a上的投影；圖2為向量b在平面S（S=矩陣A的列向量生成的子空間）上的投影。

以上投影的思想和方法可被用來解決一個問題：當線性方程組Ax=b無解的時候，我們如何求得最優的近似解？

Ax=b無解，即b不屬于矩陣A的列向量組生成的子空間（記作S）。所謂最優近似解 ，即滿足 是b在子空間S上的投影，此時的誤差 最小。即把求Ax=b轉化為求 ，即 。

下面我們給出這一方法的一個精彩應用：設（0，6），（1，0），（2，0）是平面上的三個點，我們需要找到一條直線b=C+Dt，使得該直線距離這三點的距離最近，即求最優擬合直線。顯然這三點并不在一條直線上。考慮方程組：

，我們記 。

顯然方程組Ax=b無解。由以上討論，我們求最優近似解，

其滿足方程組 的。即： ，解得C=5，

D=-3。得到直線方程b=5-3t。

從圖3可知（圖3為點（0，6），

（1，0），（2，0）與直線b=5-3t

的誤差）：

，即

為誤差。這就是在科學分析中常見的最小二乘近似的代數解釋。如果用微積分的知識來求最優擬合直線，即求函數 的最大值點，令

化簡得： 得到相同的結果。我們可以看到線性代

數作為工具，可以解決實際的問題，微積分將非線性對象歸結為線性對象，處理線性對象的任務就交給線性代數。特別在多元微積分中更是如此。此外，這種利用幾何直觀解釋最小二乘近似更便于學生接受和理解，且可以激發學生的學習興趣。

三 線性代數教法的有益嘗試

以往教材體系，一般是按定義、公理、引理、定理、推論的模式來編寫。這樣有利于讓學生打下堅實的基礎，以便在后續課程的學習或研究過程中逐步體會線性代數的思想和應用。這種編排對大多非數學專業的學生來講顯得太“數學化”了，因此很難接受和適應。另一方面，教材的編排遵從嚴密的邏輯體系，這樣做往往會忽視問題的重要性，而只關注闡述知識的過程及其嚴謹性。即便學習很認真刻苦，學生也容易感覺“只見樹木不見森林”。有些學生題目做了很多，技巧和方法用得爛熟，但問到“線性代數有什么用”，他們依然一頭霧水。國內大多數線性代數教材一開始就講行列式和它繁雜的性質和運算技巧。它的定義很復雜、抽象，雖然學生知道它是在解線性方程組的過程中被發現和定義的，但依然不明白這個定義有什么用？事實上，當我們學習了矩陣、線性方程組和向量空間之后，再學習行列式，它的定義就很自然了。它實際上就是將一個方陣經過初等變換為階梯形后，對角線元素的乘積，這個數字反映了方陣的某些重要的特性（如是否可逆）。教學中在講解完它的定義和性質之后，介紹其幾何背景：二階行列式就是平行四邊形面積，行列式的性質都可以在平面上通過畫圖直觀表示。而且二階行列式可以通過代表它的一組鄰邊的向量按乘法法則展開得出來。行列式等于零就是面積為零，就是這個平行四邊形退化到一條線上了，也就是線性相關三階行列式是平行六面體的體積。n階行列式可以看作它的各行張成的n維的體積，它的算法公式也可以由各行按乘法法則展開得到。這樣，既對于行列式就有了一個較為直觀的認識，又很好地反映了線性代數的幾何直觀。

學習線性代數和做科研一樣，發現問題是核心。教師應當先拋出問題給學生（如求解方程組、線性方程組的解集與未知數個數和方程個數之間有何關系、向量怎樣坐標化、n維數組空間的向量什么時候是基……），問題是很具體的，容易激起學生的求知欲和興趣。然后圍繞解決問題去組織教學內容，逐步通過解決問題來引入定義，給出性質、方法和技巧。這樣更符合人的認知過程和學科發展的自然規律。

四 結束語

我們在教學中做了以上嘗試之后，學生覺得線性代數的入門形象了許多，并能切身感受到發現問題、分析問題和利用線性代數這一有力工具解決問題的全過程，而不僅僅以會做題目來衡量是否學好了線性代數這門課。我們將繼續深化這種嘗試和改革，以問題為中心、以幾何背景為手段，以期形成一套完善的線性代數的新教學模式。

參考文獻

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