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高等代數范文1
中圖分類號 G642 文獻標識碼 A 文章編號 1000-2537（2015）03-0091-04
高等代數是數學專業一門重要的基礎課程，為學生學習抽象代數提供了必要的基礎[1-4].抽象代數是數學專業的必修課程，是對高等代數中出現的數域、多項式等概念進一步抽象概括，是高等代數的繼續和高度抽象化[5-8].因此，高等代數為抽象代數提供了很多具體的模型.
高等代數和抽象代數聯系緊密，但鮮有學生能領悟到它們之間的關系.學生普遍認為，高等代數比較容易接受和理解，抽象代數難以理解[9-13].作為一名教師，要利用學生熟知的高等代數知識引入定義或設為例子，使學生接受“抽象代數知識來源于熟悉的模型”這一觀念.本文將從以下知識點入手，探討如何在抽象代數教學中應用高等代數知識.
1 “變換”概念的鞏固
一個集合A到A的映射稱為A上的一個變換.教材[8]首先給出變換的定義，隨之給出3個簡單例子，學生基本上能掌握這個概念.但是教材[8]中沒有適合學生做的課后習題，為了鞏固學生所學的知識，可布置這樣一道課后習題：高等代數書[4]中也有“變換”和“線性變換”這兩個概念，請同學們分析[4]中的變換和這里的變換有什么關系.到下次上課前，先幫助學生溫習變換的概念，再檢查其課后作業，最后總結：高等代數中所提到的變換是某個線性空間到自身的映射，線性變換是線性空間上的變換并保線性性，而抽象代數中的變換是指任何集合到自身的映射.
2 “等價關系”概念的引入
等價關系是集合A上的一個關系，并滿足自反性，對稱性和傳遞性.在教材[8]中，作者先給出關系的概念和一個關系（不是等價關系）的例子，再直接給出等價關系的概念.如果引入不當，學生比較難以接受等價關系這一概念.事實上，等價關系的例子在高等代數書中很多，可信手拈來.因此，可以提前布置學生去復習高等代數中的矩陣“合同”和“相似”等概念，看這些概念具有什么共性.在講述“等價關系”之前，先給出實數集R上的n×n階矩陣集合Mn（R），并分別給出該集合上的“合同”和“相似”等關系，引導學生發現它們不僅是Mn（R）上的關系，并且都具有自反性、對稱性和傳遞性，然后自然地引出“等價關系”的概念.學生恍然大悟：原來等價關系并不陌生，在高等代數中已經接觸過.如果要進一步鞏固該內容，還可以引導學生分析Mn（R）上的矩陣秩相同關系，整數集Z上的模4同余關系等，讓學生自己發現來自于高等代數的某些例子也是等價關系.
3 群、環和域概念的處理
在教材[8]中，作者給出群的第一定義和第二定義，并證明了這兩個定義的等價性.課堂上先給出第一定義，并引導學生理解Ζ關于普通加法，非零整數集合關于普通乘法按照第一定義都是群，接著由第一定義推導出第二定義，由第二定義又推導出第三定義：一個非空集合G，對于其上的一個運算滿足封閉性，滿足結合律，存在一個單位元，每個元素都有逆元，則G關于該運算是群，由第三定義推導出第一定義，這樣即證明了三個定義的等價性，并將重點放在第三定義.有了第三定義后，提問：Mn（R）關于矩陣加法是群嗎？Mn（R）中的可逆矩陣集合關于矩陣乘法是群嗎？同時，讓學生翻閱教材[4]中關于矩陣加法和矩陣乘法的定義及性質，學生會發現：Mn（R）關于矩陣加法滿足封閉性與結合律，零矩陣是單位元，每個矩陣的逆元是其負矩陣，因此Mn（R）關于矩陣加法是群；Mn（R）中的可逆矩陣集合關于矩陣乘法也構成群.進一步，引導學生發現：矩陣加法滿換律，因此Mn（R）關于矩陣加法是交換群；而矩陣乘法不滿換律，因此Mn（R）中的可逆矩陣集合關于矩陣乘法不是交換群.接著，再告訴學生：高等代數中還有很多群的例子，請同學們把這些例子全部找出來.學生通過總結，找出了一元實系數多項式集合R[x]關于多項式加法是群、實數集R上的n維行（列）向量的全體關于向量加法構成群等.
可類似地處理環和域概念的講解與鞏固，這樣不僅促使學生去復習高等代數知識，讓學生深刻領悟到：群、環和域等概念是對高等代數中出現的數域、多項式、矩陣和線性空間等概念的進一步抽象概括，也讓學生逐漸意識到抽象代數并不是那么抽象，抽象代數的模型是現實中有例可循的，更增強了學生的學習興趣和學習積極性.
4 零因子
零因子對學生來說是個全新的概念，教材[8]中先給出了整數模n的剩余類環Zn的例子：當n是合數時，存在兩個不是零元的元素相乘卻是零元，接著給出了零因子的概念：在一個環里，a≠0， b≠0，但ab=0，則稱a是這個環的一個左零因子，b是一個右零因子，若一個元素既是左零因子又是右零因子，則稱其為零因子，最后還舉了一個比較抽象的例子和一個比較泛的矩陣環的例子.雖然Zn在抽象代數中經常出現，但是畢竟該環是通過模n取余運算構成的環，該運算跟學生以前學過的運算有很大的區別，對學生來說仍具有一定的抽象性，而書上列舉的矩陣環的例子只說該環有零因子，并沒有列舉具體的零因子.如果完全按教材的編排按部就班地講解，學生很容易忘記.這時，不妨引導學生回想：Mn（R）中兩個非零的矩陣相乘會是零矩陣嗎？大部分學生知道這是可能發生的，但是還有少數學生可能忘記相應的高等代數知識了，這時給出如下例子.
通過該例告訴學生A是環S的左零因子而B是環S的右零因子，這樣學生基本上知道零因子這個概念了.接著，再提問：“一個環上的左（右）零因子是零元嗎？一個環內的左零因子一定是右零因子嗎？一個環內的右零因子一定是左零因子嗎？”可繼續利用例1，讓學生在環S里面找個矩陣C使得BC=02×2，學生通過簡單的計算發現C必須為零矩陣，所以B是環S的右零因子但不是環S的左零因子，也就是說一個環內的右零因子并不一定是左零因子，反之，一個環內的左零因子并不一定是右零因子，再進一步強調一個環上的左（右）零因子一定不是零元.
通過例1的講解，學生對零因子已經不陌生了，這時采用啟發式教學，引導學生去解答：一個環里面哪些元可能是零因子，哪些元一定不是零因子.先給出如下例子.
例2 環Mn（R）中的可逆矩陣是零因子嗎？
學生通過計算發現，可逆矩陣不是環Mn（R）的零因子，好奇的學生自然會問：為什么會出現這種情況呢？不妨適時地提醒學生：可逆矩陣是環Mn（R）中具有逆元的元素，是不是只要有逆，這個元素就一定不可能是左（或右）零因子呢？一些學生可能還持懷疑態度，給出下面的結論：
結論1 設a在環R中有逆元a-1，則a一定不是環R的左（或右）零因子.
下面證明這個結論：設b∈R使得ab=0，則a-1ab=a-10=0b=0，則a不是環R的左零因子，同理a不是環R的右零因子.
通過前面的教學，學生對零因子這個概念已經有了深刻的理解，但還有可挖掘的內容，學生暫時想不到，但是只要一個提問，學生就能自己找到新的結論，所以進一步提問：下列陳述對嗎？
環內有左零因子環內有右零因子；
環內有右零因子環內一定有左零因子.
利用例2，還可以啟發學生發現零因子與消去律的關系，讓學生真正掌握零因子這一概念的內涵與外延.
5 環上的運算規律
在環上有兩種運算：一種稱為加法；另一種稱做乘法.當然這些加法和乘法并不一定是普通的加法和乘法，關于加法構成交換群，關于乘法滿足結合律和封閉性，這兩種運算通過分配律聯系起來.對應地，有一些環內的運算規律，這些運算規則繁多，學生一下子難以理解和消化，不妨采用列表的方式將環內的運算規律和Mn（R）上的矩陣運算規律加以比較，見表1.通過表1的比較，學生發現：環內的運算規律和Mn（R）上的矩陣運算規律類似，因為學生已經熟悉Mn（R）上的運算規律，學生可以利用表1的比較來加深對環內的運算法則的理解.
總之，高等代數為抽象代數提供了很多例子，作為一名教師，利用好這兩門課程之間的關系，架構從高等代數到抽象代數的橋梁，能夠幫助學生跨越從高等代數到抽象代數的鴻溝.
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高等代數范文2
關鍵詞： 創新教學 高等代數 知識結構 教學內容
高等代數是數學各專業的重要基礎課程，課程內容可分為多項式理論和線性代數理論兩部分，以線性代數理論為重點。在傳統的高等代數教學中，主要以知識點的獨立講授為主，常常忽視知識點的應用以及知識點的關聯；高等代數課程內容從知識模塊角度可分為多項式理論、矩陣及線性方程組理論和線性空間理論，傳統的教學中，經常忽視知識模塊的完整性；傳統的高等代數教學對于學生的主體地位體現不夠，不能很好地調動學生的思維積極性。針對傳統高等代數教學的不足，筆者結合兩年的教學實踐，以下從三個方面探討高等代數課程的創新教學。
1 對知識結構的合理調整
我校高等代數課程使用的教材為北京大學數學力學系的《高等代數》第三版，講授時間為一年。以往的教學中，從第一章多項式知識開始講授，兩個問題：其一，大一的學生學習高等代數的同時還學習解析幾何，而解析幾何課程一開始就要用到行列式相關理論，這就使得教師不得不在解析幾何課程中講授行列式的基本理論，浪費了課程資源；其二，第一學期只能講授前三章，這樣作為矩陣理論知識模塊的二、三、四章就不能系統講授。所以現階段的教學把第一章多項式放到第二學期講授，這樣第一學期就集中教授矩陣和線性多項式理論模塊二、三、四章，既滿足了學生學習解析幾何對行列式知識的需求，也保證了知識模塊的完整性，同時方便了知識點的集中系統講授。
針對高等代數課程課時比較緊張的現狀，同時結合學生對知識的接受規律，對一些章節的講授做了適當調整。首先，對于相對比較抽象而冗長的證明，主要布置給學生作為課后作業進行閱讀和理解，讓學生主要以了解證明思路為主，例如代數基本定理的證明，矩陣的行秩與列秩相等等問題和定理的證明。其次，教材中所有帶*號的內容都不在課堂上講授，把那些相對重要的內容作為學生的課后讀物，例如最小多項式以及λ―矩陣相關內容。同時，把第四章等的內容進行調整，把初等矩陣的知識放在分塊矩陣的前面，主要是希望學生能通過初等矩陣的學習，了解矩陣的行或列的整體性，從而幫助學生理解分塊矩陣。
2 充分挖掘和利用知識點的關聯
高等代數知識以線性代數理論為重點，而在線性代數中，矩陣理論是核心，所以以矩陣理論為主線，高等代數各知識點之間有著密切的關聯。如何利用這些知識點的關聯幫助學生理解高等代數的知識結構是高等代數教學的關鍵，在實際教學中，可以抓住以下幾個關系：
2.1 向量理論與矩陣理論的關聯
向量可以看作只有一行或者只有一列的矩陣，同時矩陣的行或者列都分別可以看作行向量或者列向量，于是矩陣就可以看作一個行向量組或者列向量組；反過來，一個向量組又可以“拼湊”成一個矩陣。抓住這樣的關系，向量與矩陣的知識就可以相互關聯，例如：
例1：求向量組α =(1，0，0，a)，α =（0，1，0，b），α =（0，0，1，c）的秩，其中a，b，c為任意常數。
2.2 矩陣理論與線性方程組理論的關聯
矩陣理論與線性方程組理論的關聯是很明顯的，比如與線性方程組密切相關的系數矩陣和增廣矩陣，可以通過系數矩陣和增廣矩陣的秩的關系判斷線性方程組的解的情況，但利用方程組的理論解決矩陣問題卻經常被忽視，比如下面的問題：
例2：若A B =0，證明：r(A)+r(B)≤n，其中r(A)表示矩陣A的秩。
證明思路：首先對矩陣B進行分塊得到(β ，β ，…，β )，可得：
從而Aβ =Aβ =…=Aβ =0，這樣矩陣B的每一個列向量都是齊次線性方程組AX=0的解，由齊次線性方程組的相關理論容易證明r(A)+r(B)≤n。
2.3 其它知識點的關聯
高等代數中其它知識點的關聯還有很多，比如：（1）矩陣理論與線性變換理論的關聯，因為任何一個線性變換在一組基下都有一個矩陣和它對應，同時線性變換的運算和矩陣運算有對應關系；（2）多項式理論與矩陣理論的關聯，一個矩陣是否可對角化與它的最小多項式是否有重根有關系；（3）歐氏空間理論與對稱矩陣理論的關聯，等等。
3 通過思考題調動學生的思維積極性
數學的理論是抽象的，不容易引起學生的思維興趣，要想達到一個良好的教學互動和教學效果，通常有兩種做法：第一，介紹知識點的應用；第二，應用大量的思考題。下面就通過幾個例子介紹高等代數課程中的思考題的設立。
在高等代數的學習中，學生對很多知識點的理解經常是片面的，這時候如果能夠適當地提出一些思考題，同時糾正學生的錯誤回答，可以幫助學生更全面地理解知識。
思考題1：f(x)，g(x)，u(x)，v(x)∈P［x］，且d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)，那么d(x)是否為f(x)，g(x)的最大公因式？
分析：這個問題是在學習完第一章第4節最大公因式的知識之后提出的，最初看到這個問題的時候，很多學生會認為答案為“是”，原因是學生知道f(x)，g(x)的最大公因式d(x)都有表達式d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)。教師最后給出否定的回答，并給出反例，讓學生了解不是所有問題的逆命題都是正確的。
思考題2：f(x ，x ，x )=(x ，x ，x )123132133x x x 是否為二次型？
分析：這個問題是學習完二次型第一節后提出的，當最初接觸二次型的知識的時候，學生經常對這個問題猶豫不決，主要原因是學生了解二次型的矩陣是對稱矩陣，但是這個式子中間的矩陣不是對稱矩陣，那這個不是一個二次型？如果我們回到二次型的定義，只要是一個二次齊次多項式，就是一個二次型。所以這個思考題的回答是肯定的，而且這個二次型的矩陣為13/223/235/225/23。最終通過這個思考題讓學生真正了解二次型的本質結構就是二次齊次多項式。
思考題還可以幫助調動學生的積極性，幫助學生加強對知識的理解，更重要的是幫助學生發現新的問題，思考新的問題。
思考題3：在二次型研究中，為什么我們只關注非退化的線性替換？
分析：這個問題是在學習了二次型第二節以后提出的，讓學生通過對這個問題的思考了解非退化的線性替換賦予了二次型之間“相互”變化的能力，即若f(x ，x ，…，x)經過非退化的線性替換X=CY，|C|≠0變為g(y ，y ，…，y )。由于|C|≠0，C 存在，則g(y ，y ，…，y )可經過非退化線性替換Y=C X變為f(x ，x ，…，x )。
如何提高高等代數的教學質量是每一位教師不斷思考的問題，以上的一些方法是筆者在近兩年的教學實踐中不斷思考和總結出來的。在以后的教學中，我們應在課后作業、學生科研等方面尋求教學改革突破。
參考文獻：
［1］北京大學數學力學系.高等代數（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.
高等代數范文3
關鍵詞: 《高等代數》學習障礙排除對策
《高等代數》是數學專業的核心課程之一,其教學目的是使學生初步掌握比較系統的代數知識與嚴格的代數方法,培養和發展學生的抽象思維能力與邏輯推理能力,為進一步學習其它專業課程打下基礎。這門課程具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性和完整的系統性三大特點,因而大一學生剛接觸時有較難學、不易掌握之感。
一、學習障礙的具體表現及原因
學習障礙具體表現為:在課堂聽講時基本概念理解不清,定理內容不明,性質的推導和證明不懂;閱讀教材時認為前后銜接不上,不明意思,形成不了整體認識;在做習題時,對證明題找不到思路或缺乏明確思路,導致無法動筆或不能完整證明,對求解題,不會運用所學知識,或因基本技能不熟練而不能完整解答。出現這些障礙的原因是多方面的,除了學生數學基礎的牢固程度與主觀學習積極性外,很重要的一點是客觀上《高等代數》比《初等代數》中研究對象更多,抽象化、形式化程度更高,運算與推理也更繁雜,而此時學生剛走出中學大門,他們的學習習慣和思維方式還是中學階段固有的模式,比如聽課時許多同學把重點放在“解題方法和步驟”而不關注“知識的發生過程”,做題時對類型、套模式,不能迅速適應大學課程的學習。
二、排除對策
1.注意《高等代數》與初等數學間的聯系與區別。
在學習內容上,教師要在多項式、線性方程組、矩陣及二次型中充分發揮初等數學的源頭作用,讓學生找到高度抽象的《高等代數》概念的初始源頭,在聯系對比中辨別其異同,從而加深印象。通過這種比較,學生能體會和理解到《高等代數》研究問題著眼于一般化、普遍性問題的整體解決,而初等數學通常只注重具體問題的個別解決。從學習方法上,教師要指導學生從中學的被動接受過渡到大學的主動獲取,主動發現問題、主動查閱資料、主動探求解決問題的方法;從習慣具體的一招一式的方法步驟到掌握本質,領悟其思想內涵。
2.學習《高等代數》,首先要學好概念。
《高等代數》中的概念,突出的特點是高度的概括性與高度抽象性。如“向量空間”定義中的加法與數乘不只是通常的加法與數乘,所給的向量空間也不是簡單的幾何模型所能體現出來的。這就要求學生在學習概念時,首先要深刻體會,反復琢磨,挖掘出每個概念的關鍵含義。其次要弄清概念與概念之間的聯系。《高等代數》中,有時概念之中有概念,比如向量空間中不變子空間的概念,就包含向量空間、線性變換和子空間三個概念。如果其中一個概念不清楚,勢必影響對不變子空間這個概念的理解。再次還必須知道一些實例。《高等代數》中概念的給出,常常引入一些實例作為抽象概念的引導,這可使學生了解這些概念的實際背景。而通過實例學生學生還可了解這個概念出現的具體簡單場合和一些重要的特殊情況,進而明確其應用范圍和定義中關鍵所在。最后要弄清概念的結構,一般分為基本條件、特點和結論三部分,這有助于學生加深對概念的理解與記憶。
3.學習《高等代數》,要掌握好定理。
定理是概念之間的規律性聯系,是《高等代數》的核心部分,在這門課程中所獲得的規律性認識,主要來源于定理。學生要學好定理,一方面要深入理解定理中所包含的內容,記住結論,搞清定理成立的前提條件,會運用定理進行論證,另一方面要認真弄懂定理的證明過程。有些定理的證明,對培養學生的分析問題能力與邏輯推理能力方面的作用比定理本身的意義還要大。一般來說,初學者要讀懂一個定理的證明,需要反復閱讀幾遍,并認真思考,從中理出證明的思路與方法。這個嚴格的數學訓練過程對提高學生的思維能力和解題能力是大有裨益的。
4.學習《高等代數》,要做一定數量的習題。
學習《高等代數》只看書不做題肯定不行。《高等代數》內容前后聯系緊密,互相滲透,學生在做題時要注重知識點的銜接與轉換,知識要成網,使所學知識融會貫通,這樣思路才會開闊。《高等代數》教材中的習題包括計算題和證明題兩部分,計算題能鞏固和加深學生對概念的理解,其中有些計算量比較大,如求最大公因式,求線性方程組的通解,求矩陣特征值與特征向量等。《高等代數》中習題的主體是證明題,它有助于培養學生的抽象思維能力與邏輯推理能力,因此學生要重視它,多花時間與精力去提高解答證明題的能力,當然,這需要一個積累的過程。除了教材上的一般習題,筆者建議學生選擇性地做一本配套的有選擇及填空題型的參考資料上的課外習題。
5.學習《高等代數》,要注重歸納總結,使知識系統化。
學習《高等代數》,要善于歸納總結。一方面,對每一章,在教師指導下,學生及時完成知識的系統化整理是必要的。這樣學生自己可檢查對知識的掌握情況,及時查漏補缺。另一方面,所謂“站得高可看得遠”,對全書來說,學生還必須注意弄清章與章、節與節之間的內在聯系,理清來龍去脈,這樣可從宏觀整體上理解和把握教材。
參考文獻:
[1]北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.
高等代數范文4
【關鍵詞】化歸；轉化；認知結構
【基金項目】該文為河北省高等教育教學改革研究項目（104081）的研究成果之一
化歸，就是在處理問題時，把待解決或難解決的問題，通過某種轉化，歸結為一類已經解決或比較容易解決的問題，最終求得原問題的解答.化歸如同“翻譯”，把同一問題用不同的形式在不同的水平上轉化出來，若是等價轉化，則所得的解就是原問題的解；若是非等價轉化，必須對轉化以后問題的答案作必要的修正才能得到原問題的解.“橫看成嶺側成峰”，從不同的特征出發可把問題轉化為不同的形式.在高等代數這門課程充分體現了化歸這一思想，它不論從總體內容的安排，還是到具體問題的解決上，到處都體現著化歸的思想.因此，在高等代數教學過程中，滲透化歸思想對培養學生思維的深刻性、靈活性、敏捷性和獨創性有很大的幫助，同時還可以優化學生的數學認知結構.
一、教學中運用轉化促進化歸
現代認知學習理論認為：學生認知結構的發展是在其認識新知識的過程中，伴隨著同化和順應的認知結構不斷再構建的過程.高等代數教學的目標就是促進學生良好認知結構的形成，而這個過程是通過同化和順應兩種方式實現的.實際上，無論是同化還是順應，都是在原有認知結構和新的教學內容間，改造一方去適應另一方，這種改造就是轉化.下面討論在高等代數教學中如何運用轉化促進化歸.
1.通過抽象與具體的轉化產生化歸
具體是與抽象相對的概念，抽象是以具體作為基礎，具體則是把抽象概括出的性質應用于具體的過程.高等代數是一門嚴謹的基礎學科，其基本概念、定義、定理等內容是非常抽象的，而每一道數學問題又是具體的.我們要正確把握抽象知識與具體問題之間的邏輯關系，不但學會從具體到抽象的轉化，還要學會將抽象的定理、問題具體化.
在高等代數中，體現這一轉化思想的內容有很多，比如：抽象的因式分解理論與具體多項式的因式分解，抽象的初等變換與具體的行列式，抽象的線性方程組與具體的矩陣，抽象的二次型與具體的對稱矩陣，具體的線性空間與抽象的線性空間，抽象的向量與具體的坐標，抽象的線性變換與具體的矩陣，抽象的線性變換形成具體的線性空間，抽象的內積與具體的度量矩陣，具體的歐氏空間與抽象的歐氏空間等等.以下以抽象的向量與具體的坐標以及抽象的線性變換與具體的矩陣為例，說明抽象與具體轉化思想的滲透.
例如，設V是數域P上的n維線性空間，ε1，ε2，…，εn是該線性空間的一組基，對于V中任一向量ξ與它在該基下的坐標（x1，x2，…，xn）之間建立了一個一一對應，即ξ=x1ε1+x2ε2+…+xnεn.
這使得對抽象向量的討論化歸為對具體n元有序數組的討論.無獨有偶，取定V的基ε1，ε2，…，εn，對V的任一線性變換σ，按
σ（ε1，ε2，…，εn）=（ε1，ε2，…，εn）A.
都對應一個矩陣A，這一對應不僅使V的所有線性變換組成的線性空間與n階矩陣空間建立了同構映射， 而且這一對應還保持線性變換的加法、乘積、數量乘積對應于矩陣的加法、乘積、數量乘積，以及可逆的線性變換與可逆矩陣對應，且逆變換對應于逆矩陣等一些很好的性質.這樣我們通過坐標， 可以把任一線性變換化歸為“陣乘變換”σ（ξ）=Aξ來討論.
對這種應用把抽象轉化為具體處理問題方法的學習，可以使學生透過事物的表面現象而抓住它的本質，有利于培養他們的創新能力.
2.通過一般與特殊的轉化實現化歸
特殊與一般是對立的統一，在高等代數的學習與研究中，常通過特殊去探索一般，從一般研究特殊，特殊與一般在一定條件下可以相互轉化、相互作用.特殊與一般相互轉化的主要途徑有：特殊到一般，一般到特殊，先特殊后一般，先一般后特殊.
高等代數中很多概念、基本理論與方法的建立體現了由特殊到一般的思想方法和一般到特殊的思想方法，如：n維向量引入是對二維向量、三維向量的推廣， n維線性空間是對向量空間的推廣， n維歐氏空間是對幾何空間的推廣，這些都是由特殊到一般的轉化；在解題時，任意數域上的整除、最大公因式、因式分解、重因式、函數與根的問題轉化到常見數域上的整除、最大公因式、因式分解、重因式、函數與根的問題，消元法將一般的線性方程組求解化簡成特殊的階梯形線性方程組，利用初等變換把矩陣化簡成其階梯形、標準形、合同標準形、相似對角形，在實線性空間上定義內積的運算得到歐氏空間理論，因此歐氏空間作為實線性空間，其中有基，也有特殊的基——正交基、標準正交基等，這都體現了一般轉化為特殊的思想.另外，教材中的許多定理的證明都滲透了這種思想.
例如，在證明定理“每經過一次對換都改變排列的奇偶性”時，先證明特殊情形：被對換的兩個數碼在排列中是相鄰的；再考慮一般情形：被對換的兩個數碼在排列中不相鄰.把一般情形中不相鄰數碼的對換看成經過奇數次相鄰數碼的對換達到目的，這樣把一般情形轉化為特殊情形的證明，從而證明了該定理.
3.通過高維向低維轉化進行化歸
為使所討論問題的數量關系更易把握，把復雜問題簡單化是解決數學問題的常用方法，這其中一個很重要的方面是低維數化問題，即將需要解決的高維問題化為低維問題解決，高維轉化為低維的表現方式主要有：（1）n維轉化為三維；（2）高階轉化為低階.通過上述轉化，將對“高維”知識、問題的解決，轉化為用“低維”的知識、方法、技能來解決.
在高等代數中，最能反映這一轉化思想的內容有兩部分，一是高階行列式的計算，如利用按某一行（列）展開法則、遞推法、行列式的Laplace展開定理將高階行列式化為低階行列式；二是高階矩陣的運算，利用分塊矩陣將高階矩陣化為低階矩陣.以下以高階矩陣為例，說明從高維向低維轉化思想的滲透.
例如，若求n階可逆矩陣M的逆矩陣，可通過降階公式M=A1B
C1D，其中D可逆，利用分塊矩陣的初等變換計算以及對n×m矩陣A和 m×n矩陣B，λ≠0 時的基本公式|λEn-AB|=λn-m|λEm-BA|等的應用使得高維向低維轉化思想的應用顯得更精彩.
一般地說，低維問題比高維問題簡單，通常是將高維問題化歸為低維問題去解決，但有時卻相反.例如，在計算行列式Dn=1111…11
x11x21…1xn
x211x221…1x2n
…1…1…1…
xn-211xn-221…1xn-2n
xn11xn21…1xnn時，需要增加一行一列，轉化為n+1階范德蒙行列式計算更為簡單.
4.通過構造固定模式進行化歸
數學從某種意義上來說是關于模式的科學，實際問題多種多樣，千變萬化，量與量之間的關系錯綜復雜.我們可以通過觀察分析，將需要研究的、未知的問題轉化為固定模式來討論.
在高等代數中，這一思想有著極其廣泛的應用.如，利用初等變換將n階行列式化成的上三角形或下三角形；利用消元法解線性方程組時將其增廣矩陣化成的階梯形；在非退化的線性替換下，一個二次型化成的平方和；實對稱矩陣的相似標準形、對稱矩陣的合同標準形、復方陣的若爾當標準形、λ矩陣的標準形以及歐氏空間的標準正交基等均屬于此范疇.這里以對稱矩陣的合同標準形為例，說明固定模式化思想的滲透.
例如，設A∈Cn×n，A′=A，則存在可逆矩陣T，使得
T′AT=Er1
1O，其中r為矩陣A的秩.
對稱矩陣的合同標準形保持了矩陣的“秩、對稱性”不變.因此，只要給了對稱矩陣的秩，它的標準形也隨之確定.許多關于對稱矩陣關系問題的討論中，根據問題的結構特點，利用其合同標準形進行處理，這樣做也符合化歸目標的簡單性原則.
例設A為n階復對稱矩陣且rA=r，求證：A可分解為A=T′T，其中T是秩為r的n階陣.
證明因為A為對稱陣，故存在可逆矩陣C，使得
A=C′BC=C′c111111
11111
11cr111
111011
11111
111110C，其中ci≠0，
于是又有A=C′c111111
11111
11cr111
111011
11111
111110
c111111
11111
11cr111
111011
11111
111110C=C′D′DC=DC′DC，取T=DC即可，該題中固定B為合同標準形使問題得到圓滿解決.
二、利用化歸優化數學認知結構
作為科技基礎的數學，將作為一個有力的工具來從事科技的學習和研究.如何使學生具備良好的認知結構是極其重要的.下面說明如何利用化歸使高等代數的認知結構優化.
1.揭示知識內在聯系，掌握知識內在結構
根據同化理論，數學學習主要是有意義的學習，如果原認知結構中的某些觀念與新知識具有實質的、非人為的聯系，可根據新舊知識的邏輯關系，把原有的認知結構主動地與新知識相互作用，形成新的認知結構，而作用的方式主要是“同化”或者“順應”，即在原有認知結構和新的數學內容間，改造一方去適應另一方，這種改造就是轉化.在數學教學中，教師要充分利用“轉化”這一數學思想方法，以它為主線，啟發學生找到教材中的核心內容，掌握知識的內在結構的相互聯系，這樣既可簡化知識，又可靈活運用知識和產生新知識.
2.把握學生現有數學認知結構，從教材的呈現程序方面促進化歸
高等代數范文5
關鍵詞： 高等代數 中學數學 行列式 矩陣
高等代數在大學數學學習中占有重要的地位，其與數學分析、解析幾何是大學數學里最基礎的三門學科，三者相互聯系，相互滲透。不僅如此，高等代數對中學數學也有著很重要的指導作用。高等代數中的方法和思想靈活多變，涵蓋的知識面較廣。在面對中學數學的問題中，聯系一定的高等代數知識，往往可以分類、整理、簡化中學數學中所碰到的難題。
1.高等代數與中學數學觀念方面的聯系
數學研究的對象有很多，單從基本研究對象來說，從簡單的中學代數研究的數、代數式方程、函數、多項式等到中學幾何研究的點、線、面、圓等常見圖形的內容，很容易得到，初等數學中研究的絕大部分對象是現實世界的數量之間的關系和空間位置與形式。然而這種研究觀念在高等代數等后繼逐漸對知識的深化的課程中卻發生了許多變化。例如，多項式與多項式之間的整除關系、集合元素之間的包含關系、不同向量間的線性關系、矩陣的相似、合同關系等許多高等代數中研究的關系，已不再是在中學數學中所接觸到的數量關系[1]。其次，向量空間、歐氏空間也不再局限于平常的空間形式，《高等代數》和《近世代數》等許多大學里所學的課程都說明了數學是一門應用抽象化、具體化的方法研究元素之間關系和研究對象結構的科學。這一新的觀念對于指導現在所提倡的中學教改是至關重要的[2]。
作為數學專業的高校教師，我們最重要的責任是致力于培養和發展學生解決問題的能力、在教學和學習中樹立理論的應用意識，總結和歸納理論的應用方法。同時深入發掘最近幾年大學里高等代數的教學實踐，結合中學課程特點及對教師示范性的要求，突出高等代數的理論應用特點和優點，將抽象的理論概念與相應層面上的具體問題結合，加深學生對理論的理解，同時培養學生應用理論分析、解決具體問題的能力。
2.高等代數與中學數學應用方面的聯系
高等代數課本中的某些知識，在指導中學數學中相對比較困難的一些問題時會發揮很好的作用，為解決問題提供捷徑。首先，談到高等代數，就不得不提到其中三個最基礎的概念：行列式、矩陣、線性方程組。這些概念是高等代數中研究的主要內容和重點，它們相互聯系、彼此有著重要的指引關系，且對中學數學解題有重要作用。
2.1行列式在中學數學解題中的應用
行列式是高等代數中運用比較廣泛的一個概念。行列式可以應用于中學數學中的因式分解，同時也可以把行列式應用到不等式的證明上。如果能在中學數學中構造適當的行列式，就會達到事半功倍、簡化問題的效果。
2.2矩陣在中學數學解題中的應用
矩陣是由方程組的系數及常數項組成的方陣，行列式和矩陣具有很多關系，矩陣是由數值組成的，而行列式的值是按可能求得的所有不同的積的代數和，即是一個實數性質和概念。根據矩陣的基本定義，可以自然想到能夠利用引入矩陣的方法解決中學數學里經常碰到的問題――求數項通項。又由矩陣和行列式在概念和計算方面有很多近似的地方，類比上述利用行列式對等式因式分解，同樣的，可以發現利用矩陣也可以對等式因式分解。矩陣的乘積和矩陣的逆對中學數學具有指導作用。
2.3線性方程組在中學數學解題中的應用
線性方程組無疑是高等代數知識中的另外一個重要組成部分，其與行列式、矩陣共同構成高等代數的重要部分，矩陣的出現可以解決線性方程組的求解問題，而行列式又可以看成矩陣的內部。運用線性方程組解決某些復雜的函數問題中，在對于研究中學數學中求函數的取值問題中有重要作用。
結語
隨著現代教學開放性程度的提高，高等代數的思想理論方法在中學數學中滲透得越來越深[3]。作為高校教師，我認為把高等代數課程思想與中學數學相融合，從更高的角度研究中學數學中的重難點，將教會學生以更開闊的眼界看待中學數學問題，從而會提高學生對高等代數的興趣。
參考文獻：
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[2]方次軍.淺析高等代數與中學數學的關聯[J].新校園（理論版），2013，12（4）：23-24.
[3]阮國利.高等數學方法在中學數學中的應用研究[D].內蒙古：內蒙古師范大學數學系，2008.
高等代數范文6
關鍵詞：高等代數；統計學；教學改革
一、統計學類專業高等代數課程教學的基本情況
統計學是收集、處理、分析、解釋數據并從數據中得出結論的科學。1998年高等學校本科專業目錄中首次將統計學專業分為理科統計學和經濟統計學，分別授予理學和經濟學學士學位，前者屬于數理統計方法與應用范疇。2012年9月，統計學類成為理學門類下的一級學科，并在其下增加了應用統計專業。為了適應統計學類專業“寬口徑、厚基礎”的需要，統計學類專業要求學生打下扎實的數學基礎，其課程體系中數學基礎必修課包含數學分析、高等代數與幾何學等。但隨著社會的發展，統計學類專業在應用方面的作用日漸突出，統計軟件、實習、實踐課程等培養統計應用能力的課程得到了強化，理論課程的課時受到一定程度的壓縮，高等代數課程也受到課時減少的影響。然而，高等代數課程是統計學類專業重要的基礎課程，也包含理工類大部分專業的考研數學知識點，本課程的教學效果不僅影響著統計學類專業其它核心課程的教學，也影響著該專業學生的自身發展。在這種情況下，如何對高等代數的教學進行改革，在有限的課時下保證高等代數課程的系統性，又能夠突出重點，保證它們的高等代數知識能夠滿足后續課程的教學需要，使其更適合統計學類專業的需求，是我們面臨的一項新課題。
二、統計類專業高等代數改革內容
（一）根據專業需求調整高等代數課程的教學內容
統計學類專業以培養理論基礎扎實，專業應用性強的學生為目標。在高等代數的教學中，對重要知識點深入講解，使學生理解其思想，并通過例題與應用加深體會；而對過于繁雜的證明可適當降低要求。目前，國內專門針對統計學類專業的高等代數教材非常少，大多數院校采用數學專業相同的教材。然而，統計學類專業大部分學生的數學基礎比數學類的學生薄弱，對高等代數這樣高度抽象的課程學習起來倍感吃力。為了改變這一狀況，在一些高等院校中，統計學類專業開設線性代數課程替代高等代數課程，這樣會使學生學習本門課程的時候感到相對輕松，但統計學類專業的后續主干課程的教學，如多元統計分析、時間序列分析、統計建模等，會由于沒有充分具備相關數學基礎而受到影響。因此，我們需要根據統計學類專業需求與學生情況，對高等代數的教學內容進行調整。具體來說，高等代數中的行列式、矩陣、向量空間、線性方程組、二次型、特征值與特征向量這些知識相互聯系緊密，是高等代數的基礎部分，是統計學類專業后繼課程的基礎，同時也是國家研究生招生考試知識點，必須包含在教學內容中。
線性變換、歐式空間等內容不屬于通常意義下線性代數知識點，不在研究生招生考試統考數學的范圍內，但其思想與統計學的主要方法聯系緊密，略去將對后繼主干課程的教學造成一定的影響。因此，這兩部分內容也需要重點講解。而高等代數課程中的多項式理論、λ-矩陣、雙線性函數等內容，不屬于通常意義下線性代數的知識點，與統計學類專業的主要方法也沒有直接聯系，不講或者略講這幾部分內容不會對本專業的后繼課程的學習造成大的影響，我們可以根據學生的基礎與課程總課時情況靈活選擇。例如，大多數高等代數第一章是多項式理論，該章定義、定理多，邏輯推理強，大一新生普遍感覺抽象難懂，而這一章的內容、方法與接下來的幾章幾乎沒有聯系，只是在特征值與特征向量這一章才會用到幾個因式分解定理。我們可以在即將講授特征值與特征向量這一章時，簡單介紹因式分解定理以及其應用方法。這樣安排一方面是由于統計學類專業的學生對數學理論證明的要求并不是很高，另一方也可以避免學生在前期因繁雜的證明而失去信心和興趣，而且可以在有限的課時內講解更多的例題，以及高等代數知識在統計學中的應用。
（二）滲透高等代數知識在統計學中的應用
作為統計類專業的專業基礎課，高等代數的方法在統計學中有著廣泛的應用。我們在講授相關知識點時，盡量結合其實際背景，特別是統計學方面的背景，滲透高等代數知識在統計學中的應用。例如，我們可以在歐式空間后，講解投影法在最小二乘法中的應用。最小二乘法是一種重要的求極值的方法，在統計學中求解線性模型參數估計問題的基本方法，具有鮮明的統計學背景。我們提出有實際應用背景方面的問題，如以腳長與身高的關系為背景，利用投影定理求出一元線性回歸問題的最小二乘解，并結合學生的腳長與身高數據，求出身高與腳長的經驗公式，并介紹該經驗公式在刑事偵查等領域的應用。這一問題與統計學聯系緊密，與學生緊密相關，且容易理解，可以很好的吸引學生的興趣。雖然統計學類專業的其他課程如數學分析、多元統計分析等會再次講授最小二乘法，但這些課程中一般是采用偏導數的工具求極值，在教學內容上沒有重復。此外，我們在高等代數中講解最小二乘法，會使學生在其他課程再次學習該方法時更容易接受，達到以舊促新的效果。在講授“特征值與特征向量”這一部分內容后，可以通過例子講解其在求解數列通項公式、微分方程、馬爾科夫鏈中的應用。
特別的，數列通項公式求解問題看起來是一個初等數學問題，與學生的高中知識聯系緊密，容易被學生理解，而該問題的解決卻需要借助特征值與特征向量的方法，讓學生體會到抽象的矩陣相似對角化在分離變量中的作用，可以極大地激發學生對高等代數的學習熱情。這一問題實際上是一個差分方程求解，是統計學類專業的主干課程時間序列分析研究的內容之一。我們此時講解這一部分內容，可以為后續相關課程的學習打下基礎。將這一問題做簡單變換，就可以變成一個微分方程問題，采用的分離變量的方法與差分方程完全一樣。而馬爾科夫鏈中的講解，可以以人口流動模型為背景，利用特征值與特征向量的性質，求出人口模型的穩定狀態。這三類例子背景不同，但其處理方法卻是極為相似的，可以讓學生體會抽象思想的魅力。在講授對稱矩陣正交相似對角化與二次型之后，我們可開設“對稱矩陣正交相似對角化在主成分分析中的應用”這一個專題，通過幾個具有實際背景的若干個例題，如身多個學生的身高體重問題分布散點圖、體會線性變換在處理實際問題中的作用，啟發學生理解主成分分析的思想。通過這些滲透，既鍛煉了學生的數學建模能力，又使學生加深了對代數方法的掌握，同時為后續相關統計課程的學習打下了堅實的基礎。
（三）改革教學模式
傳統的高等代數教學方式以板書為主，原因之一是高等代數的教學內容含有大量的計算和證明，板書可以加深學生對計算和證明過程的理解。然而，板書的書寫速度較慢、信息容量小、表現等缺點，使其在高等代數教學中的局限性日益突出。隨著社會的發展與教育技術的進步，各種教育工具不斷涌現，多媒體、翻轉課堂、等精彩紛呈。作為一名高校青年教師，需要積極學習如何運用這些新的教學工具，改革教學模式。但任何教學工具都不是萬能的，我們需要根據教學內容與學生特點，采用適當的教學策略，揚長避短，形成優勢互補。多媒體可以極大地節約板書時間，提高授課效率，在一些板書量特別大的章節，我們可以采用多媒體的方式。但正是由于多媒體授課效率高的特點，容易造成學生思維跟不上課堂進度，學生的思路也容易隨著多媒體翻頁的變化而斷掉，不能對課堂有一個整體把握。這時候我們必須采取多媒體與板書相結合的方式，在利用多媒體教學的同時，將教學框架、教學重點、教學難點以及一些重要的定義、定理、公式等內容板書在黑板上，強化學生對教學內容的理解與記憶。翻轉課堂是指重新調整課堂時間，學生在課外自主完成知識的學習，教師采用各種途徑滿足于促成學生的學習，課堂變成了老師學生之間和學生與學生之間互動的場所。這一模式可以打破時間與空間的限制，讓學習變得更加靈活。但現階段地方院校學生自主學習意識普遍較弱，翻轉課堂不適合作為高等代數這類趣味性弱且高度抽象的課程的主要教學模式。我們注意到一部分學生求知欲強，學習興趣濃，課堂教學內容不能滿足他們的需要。我們可利用翻轉課堂來實現分層教學，將一些擴展內容，以微課、電子書、論壇等形式提供給學生，為學有余力的同學拓寬和加深知識體系。這些新的教學方式可以打破時間與空間的限制，構建新的教學模式，促進師生溝通及交流，提高教學效果。
三、結束語
作為一名統計學類專業基礎數學課的教師，要著力思考如何使基礎課的教學更好地服務于學生的發展，為本專業后繼課程的教學打下堅實的基礎；要著力思考如何講基礎課的教學與本專業的背景聯系起來，加深學生對定義、定理方法的理解，調動學生的學習積極性；要著力思考如何改革教學方式與方法，將重要的教學內容，以學生容易接受的形式，系統化的呈現出來。教師是教學改革的主體，教學是教師的立足之本，要在實踐中發現問題、解決問題，努力提高教學質量。
參考文獻
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