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立體幾何范文1

■ 專項模擬

1． 直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，設面A1BC1與面ABC的交線為l，則A1C1與l的距離為（）

． 如圖1，已知球O是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球，平面ACD1截球O的截面面積為（）

（）

A． 12 B． 12π

4． 有下列四個判斷：①平面α平面γ，平面β平面γ；②直線a∥b，a平面α，b平面β；③a，b是異面直線，a?奐α，b?奐β且a∥β，b∥α；④平面α內(nèi)距離為d的兩條平行直線在平面β內(nèi)的射影仍為兩條距離為d的平行直線．其中能推出α∥β的條件有_________?搖（填寫所有正確條件的代號）．

5． 已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，又知BA1AC1．

（Ⅰ）求證：AC1平面A1BC；

（Ⅱ）求CC1到平面A1AB的距離；

（Ⅲ）求二面角A-A1B-C余弦值的大小．

6． 如圖2，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1的底面為正方形，O1，O分別為底面A1B1C1D1和ABCD的中心，且A1在底面ABCD上的射影為O．

（Ⅰ）求證：平面O1DC平面ABCD；

（Ⅱ）若點E，F(xiàn)分別在AA1，BC上，且AE=2EA1，則點F在何處時，有EFAD？

（Ⅲ）若∠A1AB=60°，求二面角C－AA1－B的大小．

7． 如圖3，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=2，AB1BC1，點D為A1C1的中點． 試求：

（Ⅰ）CD與平面AB1D所成角；

（Ⅱ）點C1到平面AB1D的距離．

（Ⅰ）求證：平面ABC平面BCD；

（Ⅱ）求直線AD與直線BC所成角的大小；

（Ⅲ）求直線CD與平面ABD所成角的正弦值．

9． 如圖5所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB=BC，DBAC，點M是棱BB1上一點．

（Ⅰ）求證：B1D1∥面A1BD；

（Ⅱ）求證：MDAC；

起到平面PAB的位置，使二面角P－CD－B成45°角，設E，F(xiàn)分別是線段AB，PD的中點（如圖7）．

（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；

（Ⅱ）求平面PEC和平面PAD所成的二面角的大小；

（Ⅲ）求點D到平面PEC的距離．

11. 如圖8，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，PCAD，底面ABCD為梯形，AB∥DC，ABBC，PA=AB=BC，點E在棱PB上，PE=2EB.

（Ⅰ）求證：平面PAB平面PCB；

（Ⅱ）求證：PD∥平面EAC；

（Ⅲ）求二面角A-EC-P的大小.

■ 解題反思

在幾何體中，平面放置位置不是水平或垂直形式時，不利于問題的分析． 例如第7題，直線CD與平面AB1D所成角，作出CD在平面AB1D內(nèi)的射影是難點，有兩條途徑可解決問題：

1． 考慮過點C作平面AB1D的垂線；

2． 直接尋找過CD的平面α，使α平面AB1D．

不論幾何體如何放置，牢牢抓住構造垂直關系是解決問題的關鍵． 第9題第（Ⅲ）問，難點是無法明確究竟是哪個平面與面CC1D1D具有垂直關系，但如果遵循“執(zhí)果索因”的原則來進行分析，還是可以把問題解決的． 使用向量法解題時，建立適當?shù)淖鴺讼凳堑谝徊剑绻}目條件中沒有給出三條兩兩垂直的線段，就要先構造出這樣的線段，然后證明其滿足兩兩垂直，進而建立坐標系，例如第5題． ■

1． C2． A

3． B4． ②③

5． （Ⅰ）證明略

6． （Ⅰ）證明略

（Ⅱ）點F為BC的三等分點（靠近B）時，有EFAD

8． （Ⅰ）證明略

為AD與BC所成角

9． （Ⅰ）證明略

（Ⅱ）證明略

（Ⅲ）當點M位于BB1的中點時，有平面DMC1平面CC1D1D

10. （Ⅰ）證明略

（Ⅱ）30°

11. （Ⅰ）證明略，提示：由BC平面PAB可得

立體幾何范文2

學習立體幾何時有些同學不適應，突出表現(xiàn)在立體感沒有培養(yǎng)起來，此外對于平面幾何的結論是否適應于立體幾何拿不準，對于立體幾何的證明思路不清晰，致使有些同學產(chǎn)生了畏懼心理。那么，要學好立體幾何我們需要做些什么呢？

一、要建立空間觀念，培養(yǎng)自己的空間想象能力

為了培養(yǎng)空間想象能力，可以在剛開始學習時，動手制作一些簡單的模型用以幫助想象。例如：可以利用粉筆盒來尋找線與線、線與面、面與面之間的關系。通過對模型中的點、線、面之間位置關系的觀察，逐步培養(yǎng)自己的空間想象能力和識別能力。其次，要培養(yǎng)自己的畫圖能力。可以從簡單的幾何體（如：正方體）開始畫起，直到能根據(jù)題意想象出空間圖形并把它畫在紙上，或根據(jù)畫在平面上的“立體”圖形，想象出原空間幾何體的真實形狀。

空間想象能力并不是漫無邊際的胡思亂想，要以題設為根據(jù)，以幾何體為依托。提高空間想象能力與平時的練習是分不開的，遇到幾何體時要多考慮它的圖形如何畫，反之，遇到“立體”圖形時要多考慮它的幾何體又怎樣。此外，教室是學習立體幾何的很好模型，它包含了高中立體幾何研究的大部分內(nèi)容，同學們也要好好的利用。

二、要提高邏輯論證能力

直線和平面是立體幾何的基礎，學好這部分內(nèi)容需要認真學習對定理的證明，尤其是對一些關鍵定理的證明。這些定理的內(nèi)容可能幾個字或者一句話就能概括，但對它們的證明對初學者一般都感覺比較抽象，有一定的難度。

在論證時，思考要嚴密，對任何一個定義、定理及推論的理解要做到準確無誤。符號表示與定理完全一致，定理的所有條件都具備了，才能推出相關結論。切忌條件不全就下結論。

三、要學會利用“轉化”的思想，分析和解決問題

“轉化”的數(shù)學思想是高中數(shù)學的重要思想，在立體幾何的證明過程中體現(xiàn)的尤為明顯。在學習時要注意體會和應用。

立體幾何是以平面幾何為基礎，由平面圖形擴展到空間圖形。因此，在分析和推理過程中就可將立體幾何問題轉化為平面幾何問題來思考和處理，這是解決立體幾何的一個重要思想。此外，還有線線關系、線面關系與面面關系之間的相互轉化，點到面的距離與幾何體的體積之間的相互轉化等也體現(xiàn)了“轉化”的數(shù)學思想，在學習時要認真體會。

立體幾何范文3

1.借助正方體認識空間點、直線、平面之間的位置關系

正方體中蘊含了空間點、直線、平面之間的所有位置關系.以正方體為依托，直觀感知空間中點、直線、平面之間的位置關系，改變了學生只習慣于在一個平面內(nèi)考慮問題的狀態(tài)，幫助學生從已有的平面幾何知識拓展到空間立體幾何知識，建立空間觀念.

2.借助正方體掌握定理的應用

判定定理、性質(zhì)定理不只是識記，關鍵是會應用.以下列舉的幾個問題，以正方體為載體，沒有增加太多的其他已知條件，涉及平行、垂直、角度等問題，完全是定理應用的簡單的實戰(zhàn)演練，可以作為定理的初步應用，幫助學生掌握定理的應用及證明的正確表達.

3.借助正方體解題

例1：（09福建理17）如圖2，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MD=NB=1，E為BC的中點.

（Ⅰ）求異面直線NE與AM所成角的余弦值；

（Ⅱ）在線段AN上是否存在點S，使得ES平面AMN？若存在，求線段AS的長；若不存在，請說明理由.

圖2

分析：根據(jù)已知條件，將原圖形補形為正方體ABCD-A′NC′M，如圖3所示.（Ⅰ）取AD的中點F，則異面直線NE與AM所成角轉化為直線A′F與AM所成的角；（Ⅱ）若存在ES平面AMN，則ESAN，因為AE=EN，所以S應為AN的中點.

圖3

學生對原圖不熟悉，容易造成畏懼心理.這種心理必然會給解題造成消極影響.把原圖補形成學生熟悉的正方體可以有效排除上述心理障礙，從而幫助學生順利解題.

例2：將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C，有如下四個結論：①ACBD；②ACD是等邊三角形；③AB與平面BCD成60°的角；④AB與CD所成的角為60°.

分析：教學實踐表明，學生因畫不出折后的直觀圖解題而一籌莫展.如圖4所示，把折后圖融入到正方體中，可以有效幫助學生分析圖形，識別直線與平面之間的位置關系，獲取正確的解題思路，從而順利解題.

立體幾何范文4

【關鍵詞】由厚到薄 提煉 梳理 歸類

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674－4810（2012）15－0140－02

“由厚到薄”是著名數(shù)學家華羅庚先生倡導的一種學習方法，是指將所學知識貫穿起來，融會貫通，提煉出它的精神實質(zhì)，抓住重點、線索和基本的思想方法，組織成精煉的內(nèi)容。就數(shù)學學科而言，通常是對全章、全節(jié)乃至全書內(nèi)容進行總結。

立體幾何的復習階段就是一個“由厚到薄”的過程。但是很多老師在復習階段僅進行知識點的羅列整理、例題講解、變式鞏固、歸納小結，基本上采用由老師到學生單向的接受性、被動性和灌輸性的教學方法，學生沒有主動進行知識系統(tǒng)化構建和數(shù)學思想方法的提煉，因而沒能消化，從而更談不上升華。復習階段并不是知識量的減少，而是對知識的高度概括，是對知識提煉、濃縮的結果。復習立體幾何的目的不是簡單地將所有學過的知識堆砌起來，而是要掌握其中蘊含的數(shù)學思想，即使是積累知識也要盡量減少其在大腦中的占地面積，盡可能地增大庫存量。因此，在復習階段，我們應講求“由厚到薄”的藝術，從而最大限度地提高復習效果。

一 提煉重要的思想方法

數(shù)學思想是對數(shù)學知識和方法的本質(zhì)及規(guī)律的理性認識，它是數(shù)學思維的結晶和概括，是解決數(shù)學問題的靈魂和根本策略，而數(shù)學方法則是數(shù)學思想的具體表現(xiàn)形式，是實現(xiàn)數(shù)學思想的手段和重要工具。離開了數(shù)學思想、數(shù)學知識和技能就難以轉化為解決問題的能力。正如著名數(shù)學教育家波利亞所說：“掌握數(shù)學意味著什么呢？這就是善于解題，不僅善于解一些結構良好的標準題，而且善于解一些要求獨立思考、思路合理、見解獨特的有發(fā)明創(chuàng)造的題。”在學習立體幾何中，學生如果不掌握數(shù)學思想方法，就難以從根本上提高數(shù)學素質(zhì)。因此，復習階段讓學生加深對基本數(shù)學思想方法的理解，是提高學生思維素質(zhì)，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題能力的重要途徑。立體幾何與其他數(shù)學分支有許多共同的思想方法，但“空間位置關系的不斷轉化”“將空間問題降維到平面上去”無疑是立體幾何所獨有的，也是最重要的思想方法。因此，在立體幾何復習教學中，應始終重視滲透這兩種數(shù)學思想方法。比如，要讓學生牢固掌握證“面面垂直（平行）”就要轉化為證“線面垂直（平行）”，再轉化為證“線線垂直（平行）”；求兩個平行平面的距離往往降為求互相平行的直線和平面的距離，再降為求點面之間的距離等。要引導學生在“線線”、“線面”、“面面”關系中不斷轉化從而解決問題，把空間問題降維到平面上去，然后用“平面幾何”或“三角”等知識求解。只有這樣，不斷地以數(shù)學思想方法為指導，去探求立體幾何解題方法的能力，才能培養(yǎng)學生空間想象能力和分析問題、解決問題的能力。

二 梳理重點的基礎知識

復習階段應系統(tǒng)地梳理立體幾何的基礎知識、基本方法、基本技能，使其在頭腦中形成清晰的知識網(wǎng)絡，掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系，并對所學知識、內(nèi)容、方法進行升華，使其成為理性認識，最終完善自己的認知結構。立體幾何雖然已學過，但仍有部分學生解題時還是似懂非懂，缺乏一定的目的性和條理性，其主要原因就是基礎知識掌握得不扎實，甚至對到底是否理解、是否掌握自己也不清楚。因此，進入立體幾何復習階段，我們應對基礎知識和基本技能以及識圖、畫圖的方法進行系統(tǒng)梳理，幫助學生全面理解并掌握以后，再進行強化訓練。在這個階段，選題應較平和，技巧不宜過強，讓每個學生確實掌握基本概念、定理、公式和性質(zhì)等，同時掌握這些定理在不同題目中的用法，理解它們的個性和通性。在此基礎上突出重點，強調(diào)中心問題，使學生找到解各種題型的突破口，提高解題能力。比如，在各種位置關系中線面垂直是核心，是立體幾何的靈魂，它和線面角、二面角以及點面距的關系非常密切，在解答題中一直是考查的重點；在各種距離中，點面距處于核心地位，計算點面距最關鍵的一點就是確定點在平面上的射影位置。

三 歸類重點的題目類型

在復習階段，如果我們過分注重以“基礎知識高度熟練化”為中心，簡單地通過機械記憶、機械模仿和機械練習，特別是題海戰(zhàn)術，來達到對基礎知識的高度熟練，很容易使學生出現(xiàn)思維定勢，導致投入與產(chǎn)出不成比例的盲目甚至瘋狂地做題。因此，本階段，要讓學生建立起立體幾何完整的知識網(wǎng)絡，應有意識地引導學生對題目類型進行歸納和整理。 比如，在復習線線平行的證明方法時，要讓學生總結梳理出四個證明的定理：（1）公理4；（2）線面平行的性質(zhì)定理；（3）面面平行的性質(zhì)定理；（4）線面垂直的性質(zhì)定理。同樣，在歸納求點到面的距離時，要總結出以下三類常用方法：（1）直接法；（2）轉移法；（3）體積法。在復習中，還應指導學生專題研究三棱柱、四面體、正方體、一條側棱垂直于底面的棱錐等載體的圖形性質(zhì)，研究置于幾何載體的線面關系的判斷和計算。比如可以用一個四面體為載體，解決一系列問題，包括特征圖形、特殊幾何體，共點、共線、共面問題，線面關系的判定問題，各種角與距離、面積與體積的計算問題，“割”與“補”的方法，一些重點結論的問題等。

四 練習基本的答題規(guī)范

解題是深化知識、發(fā)展智力、提高能力的重要手段，而規(guī)范的答題則能夠養(yǎng)成良好的學習習慣，提高思維水平。在復習階段做一定量的練習題是必要的，但并非越多越好，題海戰(zhàn)術只能加重學生的負擔，弱化解題的作用。要克服題海戰(zhàn)術，強化答題的作用，就必須加強答題規(guī)范的指導。解題的規(guī)范包括審題規(guī)范、語言表達規(guī)范、答案規(guī)范及答題后的反思四個方面。從立體幾何解答題的答題情況來看，學生“會而不對，對而不全”問題比較嚴重。因此在復習教學中，我們應始終把培養(yǎng)學生的“三功”作為強有力的抓手。所謂“三功”，即審讀功—— 一道數(shù)學題目看兩遍后要能夠理清題目的

立體幾何范文5

1. 如圖所示，[ΔA′B′C′]（其中[A′B∥O′x]軸，[A′C′∥O′y′]軸，且[A′B′=A′C]）是[ΔABC]的斜二測直觀圖，那么原[ΔABC]是（ ）

A. 等腰三角形 B. 直角三角形

C. 等腰直角三角形 D. 鈍角三角形

2. 如圖是由若干相同的小正方體組成的幾何體的俯視圖，其中小正方形中的數(shù)字表示相應位置的小正方體的個數(shù)，則該幾何體的側視圖為（ ）

3. 設[α，β]為兩個不同的平面，[l，m]為兩條不同的直線，且[l?α，m?β].有如下的兩個命題：①若[α∥β]，則[l∥m]；②若[lm]，則[αβ].那么（ ）

A. ①是真命題，②是假命題

B. ①是假命題，②是真命題

C. ①②都是真命題

D. ①②都是假命題

4. 正方體[ABCD-A1B1C1D1]的棱長為1，從頂點[A]經(jīng)過正方體表面到頂點[C1]的最短距離是（ ）

A. [22] B. [5] C. [2+1] D. [3]

5. 設[α，β，γ]是三個互不重合的平面，[m，n]是兩條不重合的直線，則下列命題中正確的是（ ）

A. 若[αβ，βγ]，則[αγ]

B. 若[m∥α，n∥β，αβ]，則[mn]

C. 若[αβ，mα]，則[m∥β]

D. 若[α∥β，m?β，m∥α]，則[m∥β]

6. 已知三邊長分別為3，4，5的[ABC]的外接圓恰好是球[O]的一個大圓，[P]為球面上一點，若點[P]到[ABC]的三個頂點的距離相等，則三棱錐[P-ABC]的體積為（ ）

A. 5 B. 10 C. 20 D. 30

7. 在三棱柱[ABC-A1B1C1]中，各棱長相等，側棱垂直于底面，點[D]是側面[BB1C1C]的中心，則[AD]與平面[BB1C1C]所成角的大小是（ ）

A. [30°] B. [45°] C. [60°] D. [90°]

8. 一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的外接球的表面積為（ ）

[正視圖][側視圖][俯視圖] [1] [1] [1] [ ]

A. [8π3] B. [16π3] C.[43π] D. [23π]

[ ]9. 如圖，矩形[ABCD]和矩形[ABEF]中，矩形[ABEF]可沿[AB]任意翻折，[AF=AD，M，N]分別在[AE，DB]上運動，當[F，A，D]不共線，[M]不與[A]重合，[N]不與[D]重合，且[AM=DN]時，有（ ）

A. [MN∥平面FAD]

B. [MN]與平面[FAD]相交

C. [MN]平面[FAD]

D. [MN]與平面[FAD]可能平行，也可能相交

10. 高為[2]的四棱錐[S-ABCD]的底面是邊長為1的正方形，點[S，A，B，C，D]均在半徑為1的同一球面上，則底面[ABCD]的中心與頂點[S]之間的距離為（ ）

A. [102] B. [2+32] C. [32] D. [2]

二、填空題（每小題4分，共16分）

11. 已知長方體的一個頂點上的三條棱長分別是[3，4，x]，且它的8個頂點都在同一個球面上，這個球面的表面積為[125π]，則[x]的值為 .

12. 一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 .

[正視圖][側視圖][俯視圖] [10] [10] [5] [10] [5] [10]

13. 正四棱錐[S-ABCD]的側棱長為[2]，底面邊長為[3]，[E]為[SA]的中點，則異面直線[BE]與[SC]所成角的大小為 .

14. 在棱長為3的正方體[ABCD-A1B1C1D1]中，[P，M]分別為線段[BD1，B1C1]上的點，若[BPPD1=12]，則三棱錐[M-PBC]的體積為 .

三、解答題（15、16題各10分，17、18題各12分，共44分）

15.如圖，[AB]是圓[O]的直徑，[PA]垂直于圓[O]所在的平面，[C]是圓[O]上的點.

（1）求證：[BC]平面[PAC]；

（2）設[Q]為[PA]的中點，[G]為[ΔAOC]的重心，求證：[QG∥]平面[PBC].

[ ]

16.如圖，在四棱錐[P-ABCD]中，平面[PAD]底面[ABCD]，[AB∥DC]，[ΔPAD]是等邊三角形，已知[AD=4]，[BD=43]，[AB=2CD=8].

（1）設[M]是[PC]上的一點，求證：平面[MBD]平面[PAD]；

（2）當[M]點位于線段[PC]上什么位置時，[PA∥]平面[MBD]；

（3）求四棱錐[P-ABCD]的體積.

[ ]

17.如圖，在矩形[ABCD]中，[AB=4，AD=2]，[E]為[AB]的中點，現(xiàn)將[ΔADE]沿直線[DE]翻折成[ΔA′DE]，使平面[A′DE]平面[BCDE]，[F]為線段[A′D]的中點.

（1）求證：[EF∥]平面[A′BC]；

（2）求直線[A′B]與平面[A′DE]所成角的正切值.

18.已知斜四棱柱[ABCD][-A1B1C1D1]各棱長都是2，[∠BAD=∠A1AD=60°]，[E，][O]分別是棱[CC1]和棱[AD]的中點，平面[ADD1A1]平面[ABCD].

（1）求證：[OC∥]平面[AED1]；

立體幾何范文6

A．5π B．πC．10πD．20π

2．如圖1，正四面體ABCD的頂點A，B，C分別在兩兩垂直的三條射線Ox，Oy，Oz上，則在下列命題中，錯誤的為（）

A．O－ABC是正三棱錐

B．直線OB∥平面ACD

C．直線AD與OB所成的角是45°

D．二面角D－OB－A為45°

3．如圖2，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，當動點M在側面BCC1B1內(nèi)運動時，總有：∠MD1B=∠DD1B，則動點M在面BCC1B1內(nèi)的軌跡是（）上的一段弧．

A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線

4．已知正三棱錐V－ABC的正視圖、俯視圖如圖3、4所示，其中VA=4，AC=2，則正三棱錐側視圖的面積和該正三棱錐V－ABC的體積分別是（）

A．6，6 B．6，10 C．10，6 D．10，10

5．一個半徑為2的球放在桌面上，桌面上的一點A1的正上方有一個光源A，AA1與球相切，AA1=6.球在桌面上的投影是一個橢圓（如圖5），則這個橢圓的離心率等于（）

A． B． C． D．

6．設等邊三角形ABC的邊長為a，P是ABC內(nèi)任意一點，且P到三邊AB、BC、CA的距離分別為d1，d2，d3，則有d1+d2+d3為定值a；由以上平面圖形的特性類比到空間圖形：設正四面體ABCD的棱長為a，P是正四面體ABCD內(nèi)任意一點，且P到平面ABC、平面ABD、平面ACD、平面BCD的距離分別為h1，h2，h3，h4，則有h1+h2+h3+h4為定值_________．

7．如圖6，已知四面體ABCD中，DA=DB=DC=3，7且DA，DB，DC兩兩互相垂直，點O是ABC的中心，將DAO繞直線DO旋轉一周，則在旋轉過程中，直線DA與直線BC所成角的余弦值的最大值是_________．

8．單位正方體在平面α外，則單位正方體上的所有點在平面α內(nèi)的射影構成的圖形面積的取值范圍是______．

9．如圖7，已知矩形ABCD中，AD=4，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，點O在EF上，且FO=3OE，把ABE沿著BE翻折，使點A在平面BCD上的射影恰為點O（如圖8）．

（1）求證：平面ABF平面AEF；

（2）求二面角E－AB－F的大小．

圖7圖8

10．如圖9，在RtABC中，AB＝BC＝2，點E在線段AB上，過點E作EF∥BC交AC于點F，將AEF折起到PEF的位置（點A與P重合），使得∠PEB=60°（如圖10）．