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線性代數范文1

1、E一般是指單位矩陣。單位矩陣：對角線都為1,其它元素都是0的方陣。它的性質就是左乘右乘任何別的矩陣都等于原本想乘的矩陣。

2、線性代數是數學的一個分支，它的研究對象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現代數學的一個重要課題；因而，線性代數被廣泛地應用于抽象代數和泛函分析中；通過解析幾何，線性代數得以被具體表示。線性代數的理論已被泛化為算子理論。由于科學研究中的非線性模型通常可以被近似為線性模型，使得線性代數被廣泛地應用于自然科學和社會科學中。

（來源：文章屋網 ）

線性代數范文2

[關鍵詞]線性代數；課堂教學；方法

【中圖分類號]G642

資助項目：浙江大學2013年度本科教學方法改革研究項目（No.Q7）和浙江省教育廳2012年度科研計劃項目（No.Y201224566）。

一. 浙江大學線性代數現狀

大學基礎數學課程（主要指微積分、線性代數、概率論與數理統計），是重要的大學基礎課之一。基礎知識的學習可以受用終身。如果沒有打下良好的基礎，學生很難真正理解高深的應用技術。這是因為數學的理論與方法已被廣泛應用于自然科學、工程技術及工農業生產的各個領域，數學技術已成為高技術的突出標志和重要組成部分，數學的影響和作用已深入到各個行業，可以說是無處不在。

線性代數是讓學生通過抽象性、邏輯性、應用性的必要訓練，逐步形成運用線性代數的原理和方法解決實際問題的思維模式和思維習慣，提供進一步學習所必備的代數知識.公理化演繹的思想（如：線性空間等各類代數系統），分類的思想（如：矩陣的相似等等各種等價關系），相互關聯的思想（如：同態等各種形式的映射），矩陣的方法，初等變換的方法，抽象推理的方法…等等，是以后進一步學習和研究的基本思想。

浙江大學在四校合并以后，經過多年的調整，承擔課程教學的主要隊伍已經穩定。在相對穩定的11人教學隊伍中有教授4名，副教授6名。獲博士學位的有8位，承擔課程的老師均為中青年教師，教學效果良好。現有的教學隊伍基本上能夠以科研來帶動教學的改革，把課程的前沿知識、研究現狀和發展趨勢，及時貫徹到教學過程中，常講常新。這為新的課程建設和課堂教學改革的開展提供了良好的隊伍基礎。

在每學期開學之時，我們按時確定學期的教學內容安排，制定教學日歷，并

按照規定把教學資料上傳網絡。教學期間，嚴格按照制定的教學安排實施教學，每周安排兩位教師答疑；期中時舉行教學研討會交流經驗，開展為青年教師的集體備課等活動；期末時，集體討論評分標準，集體改卷。這些規范化的管理，為我們實施課程教學改革提供了良好的保證。線性代數是浙江大學的校精品課程，得到學校的大力支持。目前，浙江大學的線性代數正著手推進省精品課程，在推進過程中，我們不斷銳意改革，總結了一套很好的課堂教學方法。

針對浙江大學理學院大類招生制度的建立，由于培養模式的改變，為了使教學內容更大范圍覆蓋學生類別，我們編寫了適合大類招生需求的《高等代數》 教材，增加小字部分的內容提高難度，以適應對數學有較高要求的學生。原先教師都采用陳維新編的線性代數教材。由于新教材的采用，如何適應新教材的教學，特別是組織課堂教學，成為一個重要的課題。

二.課堂教學改革

1.傳統教學手段與現代教學手段靈活運用

傳統的教學一般采用前蘇聯教育家凱洛夫的“五段式教學”，即組織教學、檢查舊課、講授新課、鞏固新課和布置作業。由于數學學科的特點，傳統的利用黑板板書的教學模式，在線性代數教學中有著現代教育技術所不具備的優勢。線性代數涉及很多數學符號和復雜的計算，所以現代教育技術有著克服不了的困難。

在教學過程中，我們采用由單純的PPT課件的教學以及單純的板書教學，過渡到把兩種授課方式結合在一起的教學模式中，并積累了一定的經驗取得了良好的教學效果，提高授課的質量。

2.強調把建模思想融入線性代數教學

以線性方程組為主線，矩陣為工具，介紹線性代數的基本知識、基本理論和

線性規劃模型以及整數規劃模型，突出學生應用數學方法和現代化計算工具解決

各種實際問題的能力培養，注重于建立模型方法的介紹和實際應用。例如教師

在教學過程中可以介紹一些網絡流模型。網絡流模型廣泛應用于交通、運輸、

通訊、電力分配、城市規劃、任務分派以及計算機輔助設計等眾多領域。通過

這些模型的介紹，可以激發學生學習興趣，以模型帶動理論教學有意想不到的

效果。浙江大學在這方面有過成功經驗，并且在期末考題融入建模試題。

3.從實際出發，注重概念與定理的直觀描述和實際背景，再講邏輯推理。

本課程是理論型的課程，沒有實驗部分。我們提出在數學教學中要返璞歸真，從源頭講起，講清楚問題產生和發展的過程，講明道理，再講推理，然后再抽象化和形式化.通過習題的練習，使學生掌握、熟悉基本內容和基本技巧，以附錄的形式在學習到相關章節的時候，向學生提供具有實際意義的背景資料，拓寬學生的知識面，這在以前的教學活動中并不常見。由于教學課時的限制，這部分背景資料的學習，并不占用課堂時間。

在教學內容上，在保留我國傳統的重歸納、演繹、推理的基礎上，更注重分析、綜合的思想。對一些重要的概念的引入，注重概念實際背景的分析與教學。許多定理的結論與條件用發現探索的方式引出并用分析、綜合的方法給予證明，激發學生的探索精神并對定理深入理解。

4.基于問題的探究式教學

根據不同情況學生的不同特點，參照在教學過程中積累的經驗，教師在課堂有

導向性向各個由學生組成的小組提出一些問題，要求學生理解并作適當的回答。對于學生而言，他們需要在小組中討論這些問題，并對這些問題的定義，性質以及如何應用等等做出解釋。在問題的構思上必須精心設計，做到既要使學生以現有的知識水平無法輕易回答問題，又對課堂教學有實際意義。這樣，在小組討論中，學生容易會對討論的主題抱有種種疑惑。而為了解決這些疑惑，學生就要通過各種渠道進行自主學習，從而最終得到問題的答案。

5.開通微博微信答疑：

利用學校提供的先進的技術教學平臺，助教把批改作業時發現的典型錯誤公布

在網上，學生思考，找出錯誤原因。學生有問題可以在網絡課程中的問題集錦里，由教師、助教，也可以是學生來回答，共同討論。教師、助教在網絡虛擬課堂與學生進行交流，使學生對教學內容有了深刻理解，提高了學習質量。課堂上，講重點，講知識的背景與形成過程，揭示知識的內在聯系，充分調動學生的積極性、主動性；自學是指有些教材內容則采用學生自學為主，教師給出思考題，課后下班輔導及答疑.去年開始，開通我們開通微博微信答疑，筆者可以通過移動網絡隨時與學生互動答疑，效果非常好。

三.課堂教學改革的亮點

強調團隊合作精神，提倡自主學習，互相討論、團隊討論、問題發現、師生探討法。將數學建模思想和方法融入到線性代數的教學，將數學建模教學中的教學理念、教學內容、模塊化教學、案例教學等方法引入線性代數教學，推進線性代數教學改革。首次提出開通微博微信答疑，學生有問題老師可以通過網絡、手機等及時解答學生問題。

參考文獻：

線性代數范文3

針對線性代數課程課時比較緊張的現狀,同時結合學生對知識的接受規律,對一些章節的講授做了適當調整。首先,對于相對比較抽象而冗長的證明,主要布置給學生作為課后作業進行閱讀和理解,讓學生主要以了解證明思路為主,例如代數基本定理的證明,矩陣的行秩與列秩相等等問題和定理的證明。其次,教材中所有帶*號的內容都不在課堂上講授,把那些相對重要的內容作為學生的課后讀物,例如最小多項式以及λ―矩陣相關內容。同時,把第四章等的內容進行調整,把初等矩陣的知識放在分塊矩陣的前面,主要是希望學生能通過初等矩陣的學習,了解矩陣的行或列的整體性,從而幫助學生理解分塊矩陣。

2 充分挖掘和利用知識點的關聯

線性代數知識以線性代數理論為重點,而在線性代數中,矩陣理論是核心,所以以矩陣理論為主線,線性代數各知識點之間有著密切的關聯。如何利用這些知識點的關聯幫助學生理解線性代數的知識結構是線性代數教學的關鍵,在實際教學中,可以抓住以下幾個關系:

2.1 向量理論與矩陣理論的關聯

向量可以看作只有一行或者只有一列的矩陣,同時矩陣的行或者列都分別可以看作行向量或者列向量,于是矩陣就可以看作一個行向量組或者列向量組;反過來,一個向量組又可以“拼湊”成一個矩陣。抓住這樣的關系,向量與矩陣的知識就可以相互關聯,例如:

例1:求向量組α=(1,0,0,a),α=(0,1,0,b),α=(0,0,1,c)的秩,其中a,b,c為任意常數。

2.2 矩陣理論與線性方程組理論的關聯

矩陣理論與線性方程組理論的關聯是很明顯的,比如與線性方程組密切相關的系數矩陣和增廣矩陣,可以通過系數矩陣和增廣矩陣的秩的關系判斷線性方程組的解的情況,但利用方程組的理論解決矩陣問題卻經常被忽視,比如下面的問題:

例2:若AB=0,證明:r(A)+r(B)≤n,其中r(A)表示矩陣A的秩。

證明思路:首先對矩陣B進行分塊得到(β,β,…,β),可得:

從而Aβ=Aβ=…=Aβ=0,這樣矩陣B的每一個列向量都是齊次線性方程組AX=0的解,由齊次線性方程組的相關理論容易證明r(A)+r(B)≤n。

2.3 其它知識點的關聯

線性代數中其它知識點的關聯還有很多,比如:(1)矩陣理論與線性變換理論的關聯,因為任何一個線性變換在一組基下都有一個矩陣和它對應,同時線性變換的運算和矩陣運算有對應關系;(2)多項式理論與矩陣理論的關聯,一個矩陣是否可對角化與它的最小多項式是否有重根有關系;(3)歐氏空間理論與對稱矩陣理論的關聯,等等。

3 通過思考題調動學生的思維積極性

數學的理論是抽象的,不容易引起學生的思維興趣,要想達到一個良好的教學互動和教學效果,通常有兩種做法:第一,介紹知識點的應用;第二,應用大量的思考題。下面就通過幾個例子介紹線性代數課程中的思考題的設立。

在線性代數的學習中,學生對很多知識點的理解經常是片面的,這時候如果能夠適當地提出一些思考題,同時糾正學生的錯誤回答,可以幫助學生更全面地理解知識。

(1)思考題1:f(x),g(x),u(x),v(x)∈P[x],且d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x),那么d(x)是否為f(x),g(x)的最大公因式?

分析:這個問題是在學習完第一章第4節最大公因式的知識之后提出的,最初看到這個問題的時候,很多學生會認為答案為“是”,原因是學生知道f(x),g(x)的最大公因式d(x)都有表達式d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)。教師最后給出否定的回答,并給出反例,讓學生了解不是所有問題的逆命題都是正確的。

(2)思考題2:f(x,x,x)=(x,x,x)123132133xxx是否為二次型?

分析:這個問題是學習完二次型提出的,當最初接觸二次型的知識的時候,學生經常對這個問題猶豫不決,主要原因是學生了解二次型的矩陣是對稱矩陣,但是這個式子中間的矩陣不是對稱矩陣,那這個不是一個二次型?如果我們回到二次型的定義,只要是一個二次齊次多項式,就是一個二次型。所以這個思考題的回答是肯定的,而且這個二次型的矩陣為13/223/235/225/23。最終通過這個思考題讓學生真正了解二次型的本質結構就是二次齊次多項式。

思考題還可以幫助調動學生的積極性,幫助學生加強對知識的理解,更重要的是幫助學生發現新的問題,思考新的問題。

線性代數范文4

【關鍵詞】新型考試、行列式、矩陣、創新教學

Abstract：In order to better meet the state education commission puts forward on the teaching of linear algebra， complete the teaching task and achieve the teaching goal， this article in view of the problems arising from the traditional teaching in linear algebra and the shortcomings， discuss how to improve the teaching of linear algebra， from the national support policy， teachers teaching， classroom communication teaching three aspects put forward relevant improvement suggestions.

Key words：New exams， determinant， matrix，innovative teaching

引 言

在工程技術和自然科學的各個領域中都涉及到線性代數的相關知識，線性代數的思想、理論及其解決問題的方法有著廣泛的應用，因而線性代數在教學中顯得尤為重要。如對于電子信息工程這一專業，存在著傳統的線性代數教學與專業課脫節的問題，本文將以此為例，談談如何改進線性代數教學的意見。

1 國家扶持政策

線性代數有著重要的社會地位和作用，在某些院校線性代數教學并未得到應有的重視。我國所有高等院校的理工科專業和相關文史類專業都應該開設本課程，并將其設為必修考試課程。從學生的心理上講，對考試課和考查課在態度及時間規劃上是不同的，所以學校必須首先重視起來。國家教委、工科數學課程教學指導委員會應做出相應部署，加大線性代數教學改革力度，聯合地方教委、省教育廳、市教育局監督全國各大高等院校，充分實現線性代數課程教學改進，全面提高我國線性代數的教育水平。

2 教師教學方面

根據國家教委制訂的線性代數課程教學基本要求，教師在教學中要培養學生的發散思維，及學習的主觀能動性。

2.1 線性代數課程基本教學

要根據本校學生的具體情況，結合各自的辦學理念，考慮地域性差異，選用或自主編寫最為合適的教材及同步練習冊。另外，要調動全體師生的積極性，在傳統的線性代數教學基礎之上創新教學。縱觀當今的社會現狀，一些二本院校，尤其是三本或專科學校的教師并沒有嚴謹的教學態度，其教學效果不言而知。對此，建議學校應該對線性代數課程建立相關教學制度及獎懲機制，以規范課程教學，如專業統考制度、教師輔導答疑制度、批改作業制度，對表現優秀的師生予以表彰獎勵，同時對表現較差者進行思想教育，開大會批評，情節嚴重者予以罰款，更有甚者直接開除。

2.2 線性代數教學的內容與方式

教師教學要深入淺出，給教學以準確定位，把線性代數與初等數學聯系起來，讓學生更好地理解、掌握并應用相關知識。如：將矩陣與數列，行列式與因式分解和證明條件不等式等典型例題結合在一起，讓學生在解題過程中逐步了解矩陣和行列式的相關性質及定理，掌握二、三階行列式的計算方法等。在此基礎上，教師再講解矩陣的線性運算，矩陣存在的條件與矩陣求逆的方法，矩陣的初等變換，矩陣的秩的概念及求法，滿秩矩陣定義及其性質，分塊矩陣及其運算n階行列式的計算方法，使教學過程事半功倍。

在課堂上教師要注重激發學生的參與意識，設置相關情景，吸引學生集中精力，產生學習興趣；在教學時鼓勵學生提出問題，以促進其思維發展。此外，教師要注意教學內容與學生專業知識的密切聯系，避免二者嚴重脫節。一般而言，所學專業都是學生興趣所在，聯系二者自然就能夠激發學生的興趣，對此教師應努力引導學生。如：對于電子信息工程專業在向量空間基的知識相關應用較多，分析電路求解KVL和KCL的相關線性方程組，分析信號與系統的問題時用矩陣處理某些問題等，在教學時教師應重點講解此類相關知識點。

注意提高做作業的有效性，作業在精不在多，注重培養學生舉一反三的能力，少講多練，有些題型求解規律由學生自己悟出來會比老師講授效果更好。務必切實發揮考試的檢測、導向和激勵作用，不能讓考試泛濫成災，使學生疲于應付，難見成效。

2.3 線性代數教學的創新型綜合改革

在教學中，充分利用多媒體的優勢，運用現代化，信息化、立體化的教學思想，以教師教學為輔，以學生自學為主，為學生提供更廣闊的學習空間。同時學校基礎課數學教研組要進一步加強隊伍建設，注重培養年輕教師，努力提高青年教師的學術水平及教學水平，不斷進行線性代數課程中教學內容、方法及手段的改革和創新。

3 注重與學生的課堂交流

俗話說：“師父領進門修行在個人。”課堂教學是需要師生共同努力完成的，所以在課堂上學生必須要配合老師，教師的教學任務才能完成，并達到相應的教學效果，否則無論怎樣進行課改也可能是徒勞。

在日常教學中，要重點做到教與學的配合。要求學生對問題認真思考，并進行有效有力地監督。大多數學生自主學習能力很差，沒有老師的督促，能逃則逃，能避則避，所以教師要采用適當的方法來督促學生，如：拋開師生關系的束縛，和學生做朋友，在閑暇時與學生促膝長談，慢慢滲透，潛移默化地從思想上影響并改變學生的一些錯誤看法。

采取獎勵制度。從心理學上講，每一個人都渴望得到他人的認可與肯定，而獲得榮譽更能激發人的斗志和興趣。如：學生最關心的考試，日常表現極為優異者可予以免試，但是不會有太多名額；其余的同學依照平時表現：出勤率、作業狀況、期末成績等情況綜合評定。

結束語

線性代數的教學改革是一項任重而道遠的艱巨任務，需要每一位教師的努力，尤其是青年教師更要肩負起這項大任，將國家教委修訂的最新教學要求及最新考研大綱同本科院校不同專業的特點結合在一起，為培養祖國需要的人才奠定雄厚的數學基礎，打下堅實的根基。同時，教師掌握線性代數課程的精髓，做到知識點的融會貫通，才能將其更好的運用于教學工作中。

參考文獻

[1]《數學課程教學基本要求》 國家教委制訂

[2]《線性代數》教材 科學出版社 主編 閆 厲

[3]《電子信息學科中線性代數的教學方法探討》 藍 洋 吳香艷《電子設計工程》2012年第13期

[4] 《線性代數教學新思路的邏輯依據》 巨澤旺 姚冬梅 《才智》2011年第23期

線性代數范文5

[關鍵詞] 線性代數 抽象思維 線性相關性

一般的工科《線性代數》課程主要包括線性方程組、行列式、矩陣、向量、特征值與特征向量、向量空間與線性變換、二次型等幾部分內容[1]。在教材中各部分內容均可獨立成章。從而造成線性代數教材可以用不同的方式去組合各個專題展開課程的內容。因此學生很難自發深刻地體會到彼此之間的聯系。此外，線性代數課程所具有的高度抽象性也常常使學生望而生畏。針對這些情況，已有不少作者發表了關于怎樣學好線性代數的一些文章，可參考文獻[2-5]。

在長期的教學實踐當中，本文作者發現在對書本知識經過一番必要的解釋之后，再從教材的理論結構這一大處著手，半句妙語，提綱挈領，往往勝于千言。因此，針對線性代數課程抽象枯燥的特點，提出了強調教材結構體系的方法。從而將線性代數各部分有機地聯系到一起，以使學生對線性代數課程有一個整體全面的把握。

尋找線性代數的理論結構，需要注重局部和全局的關系。線性代數是一門高度抽象的課程，如能從高處以更廣的視野對教材的內容進行審視，或對內容進行一種全局性、宏觀性的概括，就可使學生的學習有明確的目標意識，而紛繁多頭的知識點也就會呈現出清晰的主干脈絡和條理性，達到事半功倍的效果。線性代數具有很多種理論層次結構。本文試圖從如下幾個方面來理解線性代數的理論結構。

一、線性代數的理論基礎來源于解線性方程組

最初的線性方程組問題大都來源于生活實踐，正是實際問題刺激了線性代數這一學科的誕生與發展。展開知識的發展過程就是這個問題的解決過程。所有枯燥的理論都是從這里生長的。在學生明確了學習的目的之后，很自然的就可以回憶起高中解二元一次線性方程組的方法――消元法。那么在大學里，我們將要解決的是所有含有有限個未知量的線性方程組。熟話說：工欲善其事，必先利其“器”！而行列式和矩陣正是我們研究線性方程組的兩個“器”。首先，為了求解方程的個數與未知數個數相等時的線性方程組，引入了行列式的概念，進而討論其性質，利用他們得到了解這類線性方程組的優美的克萊姆定理。其次，對于方程的個數與未知數個數不相等時的線性方程組，引入了矩陣這一工具。而前者可以統一到后者之中。學生在明白了這一簡單的理論架構以后就知道自己為什么要學習行列式和矩陣了。參看下面的圖1。

圖1表明了求解線性方程組時所用到的兩種工具。

二、線性代數的重要內容――矩陣

矩陣或者說增廣矩陣就是把一個線性方程組最重要的信息提煉出來。這是學生在線性代數的學習中將要遇到的第一次抽象。這一問題的轉化過程是通過一一對應實現的。因此矩陣來源于線性方程組。但是矩陣作為線性代數中一個嶄新的概念，隨著矩陣理論自身的發展，它又是高于線性方程組的。這句話不是很好理解，打一個譬如。如果我們把線性方程組看作“道”，矩陣是另外的“道”。那么矩陣這個“道”是可以用線性方程組這個“道”來描述的，但又不僅僅是線性方程組這個“道”的平常意義所能包涵得了的。很熟？對！就是“道可道，非常道”那句話。事實上，我們的線性方程組這個“道”也是來源于現實生活中更具體的“道”------“道”法自然。而矩陣那個“道”也可以用諸如向量組，向量空間等更高級的“道”來抽象。像這樣一種不斷的用“道可道，非常道”抽象上去的理論結構的強調對學生抽象思維能力的培養是很有好處的。參看下面的圖2。

圖2揭示了線性代數課程的某一種理論層次結構：表明了從線性方程組到子空間或極大線性無關組的不斷發展抽象的過程。

三、矩陣――廣義的數

矩陣的定義是一個數表，但是也可以理解為數的概念的一種推廣。因為矩陣也定義了加減乘等運算，對于可逆矩陣還有求逆的運算。特別地，對于一行一列的矩陣來說就是我們通常意義的實數或復數。所以，用這個思路來理解矩陣這個概念就會覺得很自然。另外要注意的一點就是矩陣做為一種新的廣義的數，當然具有一些自己獨特的性質。如矩陣乘法的交換律，消去律等等已經不再恒成立。這些正是學生需要加以學習和辨認的。當學生對數的概念放寬以后，就可以繼續說線性變換甚至更廣的函數都是數的概念的推廣。從而形成對數的認識發展的理論結構。或者說另外的一種“道可道，非常道”抽象上去的理論結構。參看下面的圖3。

圖3表明人類對數一種認識的過程。

四、矩陣的核心――矩陣的秩

矩陣的秩是一個較難消化的概念，但又是一個非常重要的概念。對矩陣的秩的理解直接影響到對整個教材的理解。在學生通過學習由K階子式所導出的矩陣的秩的定義之后，把求矩陣的秩轉化為求階梯形矩陣非零行的行數顯得很重要。對于一個具體的線性方程組來說，其所對應的增廣矩陣的秩就是方程組中“有用”的方程的個數。也就是說，其增廣矩陣對應的階梯形矩陣中的零行所對應的方程組中的線性方程的存在與否對方程組的解沒有任何影響。即零行對應的這些線性方程是“無用的，表面的”！因此通過化矩陣為階梯形求矩陣的秩的過程，實際上就是對線性方程組的一個化繁為簡的過程，去粗取精的過程！這樣一種結構事實上就是在線性方程組的集合與矩陣的集合之間建立了一種一一對應的關系之后，把對線性方程組的研究徹底的轉化為對矩陣的研究。這是進行數學研究的根本方法。

五、初等變換――“照妖鏡”

在用消元法求解的過程當中，我們會用到初等變換。此時，初等變換把一個方程組變成同解的另外一個方程組，在這個過程當中，原方程組形式上變得簡單了，但是方程組的解集合不會改變。在把矩陣化為階梯形矩陣的過程當中，我們同樣會用到初等變換，此時矩陣形式上也變得簡單了，但是矩陣的秩不會改變。而從階梯形矩陣我們一眼就可以看出矩陣的秩。所以線性代數用一句話來說就是研究線性方程組，矩陣，向量組，以及二次型等等在初等變換下不變的那些性質。這樣一種結構就能把各個知識點串起來，讓學生達到融會貫通的效果。

六、兩個重要概念――線性相關與線性無關

線性代數里面有很多重要的概念，線性相關與線性無關無疑是其中的兩個。這里，一個簡單的命題是含有零向量的向量組線性相關。因為我們可以取零向量的系數為1，其他向量的系數為零，從而得到一組不全為零的組合系數。這個命題的逆命題顯然是不成立的。與此同時，在各種版本的教材中還會有這樣的一個定理：一個向量組線性相關等價于該向量組中存在一個向量被其余向量線性表示。我們說能夠被其余向量線性表示的向量在某種意義上在這個向量組里面是多余的或者說沒用的――在線性方程組里，去掉這個向量所代表的那個線性方程對原方程組的解不會有任何影響，而在某個矩陣里，去掉該向量所代表的行也不會對矩陣的秩有任何影響。在這樣一種意義下，我們甚至可以把這樣的向量――能夠被其余向量線性表示的向量――看成零向量。因此，線性相關的向量組表面上不含有零向量，但本質上還是含有零向量的。認識清楚這一點，我們就可以透過現象，看到本質！從而也能得到線性代數中另外的一個理論結構。那就是從任何一個向量組出發，通過反復去掉其中多余的向量――能夠被該向量組剩余向量線性表示的向量，我們可以得到原向量組的一個極大線性無關組；而通過反復添加多余的向量――能夠被該向量組線性表示的向量，就可以直達向量空間這個概念。

七、矩陣的應用――二次型

大部分教材最后一部分往往涉及到實對稱矩陣的一個應用，即利用已經得到的有關實對稱矩陣的對角化的理論，來化一般二次型為標準二次型。因此縱觀整個教材，很好的體現了從實踐上升到理論，最后又用理論來指導實踐這一創造美好世界的原則。參見圖1.

圖4為線性代數課程的另一種理論層次結構：表明理論來源于實踐（指從解線性方程組中所得到的矩陣理論）之后又可以用于指導實踐（指用矩陣理論解決二次型的標準化問題）的哲學思想。

扎根于對教材的深入理解，能得到許多的理論層次結構。既有關于整個教材的，也有關于某個知識小塊的。許多結構都還有待于我們去繼續發現。本文旨在起個拋磚引玉的作用。鑒于各種抽象的過程，借用《道德經》里面的一段話來結束全文：道可道，非常道，名可名，非常名。無，名天地之始，有，名萬物之母。故常無，欲以觀其妙；常有，欲以觀其繳；此兩者，同謂之玄。玄之又玄，眾妙之門！

參考文獻

[1]同濟大學數學教研室.線性代數（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2005

[2]張軍，戴霞.淺析注重思維培養的線性代數教學方法[J].高等教育研究，2007，24（4）：29～31

[3]李佩澤.對線性代數中線性方程組教學的實踐和體會[J].高等教育，2007，14：21～23

[4]丁巍.淺談“線性代數”教學中的美育[J].高等數學研究，2008，11（4）89～90

線性代數范文6

關鍵詞:線性代數;教學改革;數形結合

線性代數是高等院校理工類和經濟管理類等專業學生的一門重要的數學基礎課程之一，是學生學習后續課程的工具，同時在培養學生的計算和抽象思維能力方面有獨特的作用。但是，由于這門課程概念繁多、內容抽象，邏輯性強、計算繁瑣，大多數學生感覺晦澀難懂，普遍感到比微積分的學習要困難得多。加之學時偏少，教師經常要趕進度，整堂課講得口干舌燥，但收效甚微。如何在課堂教學中有效提高教學效率，幫助學生適應線性代數課程的教學進程呢?為此我們從以下幾個方面來談談提高線性代數課程教學效率的策略。

一、重視線性代數緒論教學

教學論的理論與實踐告訴我們，為了達到預期的教學目的和要求，必須組織好教學過程，充分注意到教育對象的特點、課程的特點以及各個教學階段的特點。而教學階段又可大致分為入門教學階段、繼續教學階段和復習階段。線性代數這門課程的內容大致包括:行列式、矩陣及其運算、矩陣的初等變換與線性方程組、向量組的線性相關性、相似矩陣及二次型等。線性代數這門課程本質上就是圍繞如何解線性方程組展開的相關內容的研究。在課程教學的第一次課，我們可以通過緒論的形式將本課程的主要內容向學生展現出來。例如，可以通過學生熟悉的中學平面解析幾何引入線性方程組的求解問題，具體來講就是，在建立了平面直角坐標系后，平面上的一條直線l就與二元一次方程ax+by+c=0 建立了一一對應關系，從而兩條直線位置關系的幾何問題就轉化為一個二元一次方程組解的問題，即兩直線平行等價于對應的線性方程組無解;兩直線相交等價于對應的線性方程組有唯一解;兩直線重合等價于對應的線性方程組有無窮多解。類似地，空間解析幾何中，一個平面和一個三元一次方程是一一對應的，從而也有相應三平面位置關系的幾何問題就轉化為一個三元一次方程組解的問題，即三平面平行等價于對應的線性方程組無解;三平面相交于一點等價于對應的線性方程組有唯一解;三平面相交于一直線等價于對應的線性方程組有無窮多解;三平面重合等價于對應的線性方程組有無窮多解。針對后面這兩種情況，提出問題:都是對應的三元一次線性方程組有無窮多解，那么它們的解的形式有什么不同?對于更多個未知量的線性方程組，其解的情形又是怎樣的呢?換個角度說，比如:3x+4y=10x+2y=10{，3x+4y=13x+4y=2{，3x+4y=16x+8y=2{，3x+4y=12x+4y+z=5{這幾個方程組，不解它們，能直接判定解的個數嗎?從而說明方程組未知量個數與方程組解的個數之間有關系，這是本課程要去研究的一個重要內容之一，這樣就激起了學生的學習欲望，為以后的學習打好伏筆。通過解析幾何中平面和空間的概念我們向學生說明，在線性代數課程中可以將它們推廣到n維向量空間，那么在n維向量空間中如何建立坐標系呢?這就需要有所謂的向量的線性無關的概念，從而說明向量的線性相關性也是線性代數課程的又一個重要內容。接下來還是從解析幾何中的基本問題:給定一個二元二次方程，如何判定它表示哪類二次曲線?給定一個三元二次方程，如何判定它表示哪類二次曲面?向學生介紹線性代數還有一個重要內容就是二次型。這樣，通過緒論課，我們向學生介紹了線性代數的主要內容，讓學生對這個課程所要研究的內容有了一個整體的了解，激發了他們學習的興趣，提高了學習積極性，為后面高效率的學習打下基礎。

二、融入數形結合思想

線性代數課程的一大特點就是定義繁多、內容抽象，很多內容學生難以理解。然而，線性代數中很多的概念和理論都來源于幾何，所以，我們在教學過程中可以借助幾何語言來闡釋線性代數中的概念和性質，從而化解線代數抽象、難學難教的狀況．例如，在行列式這個概念的教學中，我們可以將行列式看作是有向面積或體積的概念在一般歐幾里得空間中的推廣。再例如，向量組的線性相關的幾何原型就是兩個2 維向量共線，而線性無關的幾何原型就是兩個2 維向量不共線。方陣的特征值和特征向量是線性代數教學中的一個重點和難點，大多數教材都是直接給出定義，沒有提供具有相關直觀幾何背景知識的內容，這樣不利于學生對此概念的理解和掌握。事實上，我們可以借助幾何直觀來引入方陣的特征值和特征向量的定義。在講矩陣的概念時，我們就向學生闡明了:線性變換和矩陣之間存在著一一對應的關系。接下來學習了矩陣的運算后，學生知道了線性變換y=Ax把列向量x變成列向量y，相當于用矩陣A去左乘x得到y。在給出方陣的特征值和特征向量的一般定義之前，我們先給出一個方陣A=1002()，將起點在原點，終點在單位圓上的任一向量記為p=xy()，當p從10()開始運動時，相應的Ap也隨之運動。我們提出問題:p運動一周的過程中，Ap是否存在與p共線的情形?如果有，它們之間的比例數是多少?通過動畫演示，學生發現線性變換A將單位圓整體的拉伸為橢圓，當p分別運動到10()，－10()，01()，0 －1()時，Ap與之共線，即有A10()=110()，A－10()=1 －10()，A01()=201()，A0 －1()=20 －1()，表明這4 個向量p對線性變換或方陣A來說是很特殊的，Ap只是對p進行了伸縮變換，我們就把伸縮系數1 或2 稱為A的特征值，而這4 個向量分別稱為對應于特征值1 或2 的特征向量。接下來我們就自然的給出方陣的特征值和特征向量的一般性定義:設A是一個n階方陣，如果存在數λ和非零向量p，使得Ap=λp，那么λ稱為A的一個特征值，p稱為A的對應于特征值λ的特征向量。通過直觀形象的實例引出特征值和特征向量的定義，讓學生感到此定義并不是憑空產生的，而是有著強烈的幾何背景，從而更好的理解和掌握它。

三、培養學生的探究能力

李大潛院士說:“數學教育本質上是素質教育。”學習數學，不僅要學到許多數學概念、方法和結論，更要領會到數學的精神實質和思想方法。如果將數學教學僅僅看成數學知識的傳授(特別是那種照本宣科式的傳授)，那么即使包羅了再多的定理和公式，可能仍免不了淪為一堆僵死的教條，難以發揮作用，而掌握了數學的思想方法和精神實質，就可以由不多的幾個公式演繹出千變萬化的生動結論，顯示出無窮無盡的威力。線性代數在培養學生思維能力和分析問題解決問題的能力方面可以發揮重要作用。在學完矩陣的秩這部分內容后，我們給學生準備了一道填空題:設A是5 階方陣，A的秩R(A)=3 ，則A的伴隨矩陣的秩R(A*)=。學生通過矩陣秩的定義和伴隨矩陣的定義，很快得到答案為0 。接著我引導學生對這個問題進行探究，將A的階數與秩作改變，相應的A*的秩又是多少呢?如題目改為:設A是4 階方陣，R(A)=3 ，則R(A*)=。這時實際上已經變成一個綜合題了，它的難度就比剛才的提高不少，其中會涉及到多個知識點，如:矩陣秩的定義;方陣的秩與行列式的關系;若兩個矩陣的乘積為零，則它們秩的和要滿足什么不等式等等。通過分析引導，學生得到答案為1 。利用這個問題，幫助學生復習了已學的知識點。最后我再提出:設A是n階方陣，對于R(A*)，同學們能不能給出一般性的結論呢?經過一番思考，有不少學生給出了結論，即當R(A)=n時，R(A*)=n;當R(A)=n－1 時，R(A*)=1;當R(A)!n－2 時，R(A*)=0 。通過這個問題的教學，拓展了學生的思維，培養了學生提出問題，分析問題和解決問題的能力。

四、充分運用案例，提高學生的學習興趣

線性代數的概念和理論都很抽象，在教學中，可以適時的引入和學生專業相關或生活相關的例子，既可以激發學生的學習興趣，又能將所學的線性代數知識與專業知識結合起來。例如在學習了矩陣的相似與對角化后，我們給出了如下捕食者與食餌系統問題。在某森林中，捕食者種群U和食餌種群V的數量是隨時間而變化的，滿足如下公式:Un+1=0 ．4Un+0 ．6VnVn+1=－kUn+1 ．2Vn{其中Un和Vn分別是捕食者種群U和食餌種群V在n月底時的數量，k是種群U吃掉種群V的速度。我們提出如下問題:(1)該系統怎樣用矩陣形式來表示?(2)設現在兩個種群的數量分別為U0 ，V0 ，當k=0 ．2 時，該系統如何演化?(3)當k=0 ．2 時，捕食者種群U和食餌種群V的數量隨時間的變化趨勢是什么?問題分析:(1)設xn=UnVn()，則系統可表示為:xn+1=Axn，其中A=0 ．40 ．6 －k1 ．2()。(2)由xn+1=Axn，可得xn=Anx0 ，其中x0=U0V0()。為了計算An，就需要利用矩陣的相似對角化。當k=0 ．2 時，A=0 ．40 ．6 －0 ．21 ．2()的特征值為λ1=1 ，λ2=0 ．6 ，對應的特征向量為(3)設c1 ＞0 ，則當n充分大時，xn趨于c111()，即當時間足夠長時，兩種群的數量之比為1 ∶1 。教學過程中適當運用案例吸引學生的注意力，增強他們的好奇心和探索欲望，培養他們利用所學知識解決實際問題的能力，從而提高了教學效果。

參考文獻

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