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一、關于數學文化   在平常學習的時候，我們很難把數學與文化結合在一起，總認為數學是一門單純的科學體系，它與文化相去甚遠。當我們說“數學與文化”的時候，總先把它們分開來談，然后再去討論它們的關系;當我們說“數學的文化”的時候，充其量不過意味著數學中存在有文化成分或文化因素等東西;但當我們說“數學文化”的時候，則是把數學本身當作一種文化來對待，這似乎不可想象。下面我們通過一個例子來說明。   數學式子儼+1=o在這個式子中，我們看到有5個數字:o、1、i、e、二和兩個運算符:“+”、“二”。按歷史的順序來說，符號1是最早出現的，O的出現則要晚得多，關于i所代表的數的合理性討論則是16世紀以后的事;至于e與二，則更為神秘，直到19世紀，它們神秘的面紗才被揭開。因此，從這個式子我們可以看到一部歷史，一部什么樣的歷史?文明的歷史，文化的歷史。   這樣5個不同時期出現而又在性質上相去很遠的不同數字，卻統一在一個如此簡潔的式子里:e‘+1二0。它的美學價值從它的內涵、歷史、外觀都可以看出來。   這只是一個簡單的例子，如果從數學的全部歷史去看，文明存在于歷史之中，辨證法存在于歷史之中，從數學的歷史可以看到數學文明與數學辨證法，可以看到數學本身就是文化，而不存在我們是否把它看做文化的問題。   從一般的道理看，文化即指人類創造的物質文明和精神文明。數學既是人類精神文明又是人類物質文明的產物，尤其要注意到，數學是人類精神文明的碩果。數學不僅閃耀著人類智慧的光芒，而lfl.，數學也最充分體現了人類為真理而孜孜不倦地追求乃至奮不顧身的精神，以及對美和善的崇高追求。   人們誤以為數學只是求真的科學，其實，它是真、善、美的統一體。正是由于有這樣一種誤解，數學就只被認為是給人提供一種工具，提供某種計算的技術，或者充其量是從這種工具或計算技術中附帶的獲得了什么。我們說數學文化，即不僅把數學視為一門科學體系，而且把它置身于真實的歷史情景中以及迅猛變革的現實社會文化背景之中。數學文化研究冷在從宏觀角度探討數學自身作為人類整體文化的有機組成部分的內在本質和發展規律，并進而考察數學與其它文化間的相互關系，這種廣泛意義下的數學觀念對全面、準確、深刻地理解數學教育問題有著亞要的價值。   二、數學文化觀念下的數學美   數學既然是一門文化，就必然具備一種美。數學本身作為一門文化，擁有豐富多彩的內容，擁有無限的美。數學的世界是奇妙的世界。當你對數學所揭示的規律浮想聯翩、對數學本身的簡潔與和諧回味無窮、對數學家的成就拍案叫絕、對復雜深奧的數學問題豁然開朗時，你的內心會有說不出來的驚奇、喜悅和陶醉，你也就領悟到了數學的美。裴特爾說:“我熱衷于數學，不僅數學可以應用于技術，而是由于數學的美。”一般來說，對被動學習數學的學生來說，是很難體會到數學的美感的。那么什么叫數學美呢?   (一)數學美的含義   數學美不同于藝術美，藝術美主要是通過形象和感覺喚起人們情感的愉快和共鳴，而數學美則是通過抽象和深思給予人們以理智的滿足和神往，是一種理性的美。法國數學家龐加萊在其名著《科學與方法》中寫道:“我所指的(指數學)是一種內存美，它來自各部分的和諧、秩序，并為純粹的理智所領會”。   數學是打開科學大門的鑰匙，它以其豐富多彩、絢麗多姿的內容展示出它的美。如數學中令人著迷的二，神通廣大的e，“虛無飄渺”的i，千奇百怪的悖論，“來路不正”的概率論，維妙維肖的摸擬方法，美妙的黃金分割……引你進人一個眼花潦亂的奇彩世界。   數學中充滿著無限的美，數學美具有科學美的一切特性，數學不僅具有邏輯美，更具有奇異美;不僅形式美，而且內容美;不僅思想美，而且方法美、技巧美，簡潔、勻稱、和諧處處可見，“哪里有數學，哪里就有美”。   (二)數學美的體現   1.數學符號公式蘊含著絕對的美   周義澄在《談科學美》中說:“在數學中，優美的公式如同但丁神曲中的詩句;黎曼幾何和普蘭克的鋼琴協奏曲一樣美。”e.i==coso+isine被人們稱為美的典范，公式T(n+l)二nT(n)二n!r(。+，)二。r(。)二J0’xs一*二•!宛如美的樂章。懷德黑說:“作為人類精神的創造，只有音樂堪與數學媲美。”   2.和諧、有序的結構美和圖形美   我們中華民族遠古文化的“河圖、洛書”(傳說五、六千年以前，大禹治水時在洛水一帶發現一只神龜背上托了一張圖稱為河圖，也叫洛書或九宮圖了，至今仍象明珠一樣閃爍著光輝，堪稱為數學史上一絕。   它在西方叫做魔方陣或三階幻方。這個方陣中，數的大小分布與奇偶分布十分勻稱，其每行、每列及對角線上三數之和均為15;祀形兩分支及聽形兩分支上每五數之和都為25。從2出發按逆時針方向可依次得到2，、22、23、24，從3出發按順時針方向又可依次得到3’、3，、3，、3‘。美妙圖形，奧妙無窮。   我國古代《易經》中的八卦(圖3)不僅結構和諧對稱，而且寓意深刻、莫測高深，它是世界上最早的二進制記數法。當二進制的發明人萊布尼茲看到中國的《易經》時非常激動，他說:“易圖是流傳于宇宙科學中最古的紀念物。”有些書甚至認為，八封中蘊含了解釋宇宙統一場哲學的最深奧之理論。   數學中黃金分割在藝術及科學中具有重要價值。德國天文學家開普勒曾把黃金分割與勾股定理并列，譽為古希臘幾何學的兩顆明珠。#p#分頁標題#e#   達.芬奇認為:“黃金分割是美的原則”。一切符合黃金分割律的圖形都是最美的圖形。廳+l二1.618黃金分割比x二-粵二二0.618(內分點)，(外分點)。當橢圓的長、短軸之比為黃金比時，橢圓與圓面積相等。這時橢圓為黃金橢圓，橢圓與圓相交組成一幅美麗的圖案，讓人感到勻稱、優美。   數學的對稱、統一美“對稱”在數學內在美的概念中，扮演了重要角色。如對稱圖形、對稱多項式、對稱變換、奇偶函數、向量內積、等價關系等等，都直接與對稱有關;數學上的許多成對相反的概念，如奇與偶、正與負、實與虛、有限與無限、常量與變量、連續與間斷、收斂與發散，互為可逆運算的加與減、乘與除、乘方與開方、變換與逆變換等等。它們不論在形式上，還是在內容上，就象花邊圖案一樣，給人以美的享受。代數中函數與反函數的圖象關于x=y對稱，偶次方根成對出現，實系數方程虛根共扼成雙，都具有對稱的美感。解析幾何中，橢圓、雙曲線、拋物線都具有對稱性‘與極坐標出現之后，這些曲線又簡單地統一于極坐標方程:p二不甕麗。當e二‘時，是拋物線方程;當O<e<l時，是橢圓方程;當e>l時是雙曲線方程。   這三種曲線又統稱為圓錐曲線，是形數結合的典型。這些科學的統一性能增強學生的審美意識。正如波萊爾所說:“簡化與統一總是無休止的發展與擴充保持平衡，一再表現出引人注目的完整性”。   4.數學的奇異美數學中的悖論，有的似非而是，有的似是而非，它們向學生展示了一片怪石磋峨，蠻荒神奇的美景。數學中的悖論有如生活中的“病態美”。   5.數學的簡潔美簡潔是一條重要的美學標準，同時也是一條重要的科學標準，正如一句古老的拉丁格言:“簡單是真理的標志”。簡單、嚴密、精確的數學語言，意義深遠，獨具一格，既不允許與本質無關的咬文嚼字，褒貶與夸張，也不可對概念的內涵與外延似是而非的模糊表達。   數學語言，不比文學中精工巧編的文字語言遜色，正如“紅妝”是美，“素裹”也是美一樣。數學語言不但是最簡單和最易理解的語言，而且也是最精煉的語言，而數學概念則是數學語言的精髓。正是憑借簡潔的數學概念所組成的精煉的數學語言，才使得我們僅用寥寥數語，就能刻劃出復雜現象的規律。   數學符號的簡潔美是令許多東西所無法比擬的。e認+l二0如此簡單的等式就把數學上重要的常量O、1、i、:、e簡潔而巧妙地聯系在一起。當我們看到愛因斯坦公式:E=MC把茫茫宇宙中的質能互換這樣深奧復雜的關系如此簡潔地揭示出來時，我們都會不由自主地贊嘆:簡潔的數學語言幫助我們把人類智慧的精華凝煉成了光芒四射的美麗的結晶。   數學語言、符號、公式、概念、問題、證明組成了數學理論。數學理論是紛繁復雜的物質世界的變化規律的反映和概括。數學理論的簡潔美正是物質世界自然簡潔美的表現，深刻地揭示出宇宙萬物多樣性的統一，令人神往和深思。   6.數學的邏輯美、方法美數學不僅是邏輯的、實用的，也是極其美妙的。從每一個邏輯推理中均可領略到美的韻律。龐加萊說:“數學的優美感就是問題的解答，適合我們的心靈需要而產生的一種滿足”。千姿百態優美的數學方法和技巧是揭開數學實質的鑰匙，每種數學方法都具有獨特美和靈活美。如綜合法采用順推格式由因導果，有利于發展正向思維，分析法采用逆推格式執果索因，有利于發展逆向思維。當直接證明困難時，往往采用間接證法，化繁為簡，化難為易，從而使問題順利而巧妙地得到解決。方法之美令人尋味，思路開闊令人傾心。   如果說數學的真表征著數學的科學價值，數學的善表征著數學的社會價值，那么數學的美則表征著數學的藝術價值。數學的美是一種理性的美，數學的美作為科學美的有機組成部分和典范，開創了美學新的園地和維度，數學美學具有在語言、體系、結構、模式、形式、思維、方法、創新、理論等各方面的豐富表現形式。數學的美學性質是其真理品質的一種特殊表現形式，或者說數學的美是由其真理性衍生出來的。正如錢學森所主張的，美即與宇宙真理相和諧。對于數學的美，我們要避免拋開數學的真談美的科學唯美主義傾向，而研究數學美與數學審美的主要目的，是從數學文化的角度出發，進一步探索數學自身的科學結構和規律。   三、數學文化的審美教育   以前，我們在教育中只強調德、智、體教育，而忽視了美育的作用。事實上，從人的心理結構來看，人的心靈是知、情、意的統一，是理智感、審美感、道德感的統一。數學教育對人的整體教育功能，也體現在審美教育功能上。   (一)對數學文化中的美育的認識   對于美育問題，存在著各種不同的看法。其一，美育即情感教育。這種情感教育的提法有其合理的部分，因為藝術凝注著情感，作用于情感，各種審美活動無不表現為情感活動，審美本身就興發于情感。但僅把美育看作是情感教育的提法是有片面性的，因為人的情感并非完全是審美情感，而審美也并非只具有情感，還有理性判斷。其二，美育即藝術教育。這種提法把美育與藝術教育作為同義詞來對待。無疑藝術教育是美育不可缺少的重要組成部分，也是美育實施所依靠的主要內容、途徑、方式和手段。但是，藝術教育不能包括美育的全部內容，它不能包容大量的經常涉及的非藝術的審美方面，如自然的、社會現實的，人本身的審美方面。其三，美育即美感教育。這種提法基于美感是對美的反映，也是一種愉悅情感的傳統美學觀。這種提法的合理性在于情感教育是通過美感教育來實現美育的。只有在受教育者那里喚起相對應的美感時，才能實現為教育。但是，由于堅持美感是對美的反映的美學原則，就會導致用單純的來自美的美感反映取代更為豐富的審美感受，對美育不利。事實上，除了來自美的美感之外，審美感受還包括丑感、崇高感等多元審美感受內容。缺乏這些內容的美育就會造成學生審美情感的單一和貧乏。其四，美育即審美教育。這種提法是我國現在美育界大體一致的看法，它在體現現代美學觀的揭示美育的本質特點上，都是比較合理的，它既包括現實美(自然美和社會美)的審美教育，也包括藝術美的審美教育。綜述以上觀點，數學美育即為數學審美教育，它以培養數學美感、市美睛感為主，是將美學原理應用于數學教育中的一種體現。#p#分頁標題#e#   (二)數學審美教育在數學教育中的作用   1.可以幫助全面貫徹數學教育目標   數學教育的目標應以普通教育的目標為依據，而美育是普通教育目標的重要組成部分。因此，進行數學審美教育是全面貫徹教育目標的一個重要方面。數學教育應該讓學生獲得對數學美的鑒賞分析能力，從而激發他們對數學科學的愛好，培養他們的創造能力。   2.可培養學生的直覺思維   在數學教學中，教師應注意數學的審美教育。進行數學審美教育，可以培養學生的直覺思維。直覺思維是主體在一定知識經驗基礎上，從感性形象材料直接獲取、迅速領悟事物本質的思維能力。進行數學審美教育，就是喚起學生對數學客體中對稱、均勻、秩序、統一等美的活動模式的審美感知，使數的美、式的美、形的美、方法美、結構美等審美信息在頭腦中會聚，產生情緒激動，感情愉悅，然后通過大腦神經網絡對信息進行歸納、類比、猜想等思維功能的處理，使學生敏感地調動已有的經驗知識進行重新組合，激發出心靈上的靈感，迸發出新的思想火花—直覺。因此，它頗適合青少年的思維活動習慣。   3.可以促進學生思維全面發展   數學教育中的審美教育，能促進學生邏輯思維與非邏輯思維的全面發展。因為審美教育是一種給人以自由感的教育，自由有助于學習者擺脫思維定勢的影響，特別有助于學習者非邏輯思維活動的展開。如果教師根據學生的知識水平，有計劃地訓練學生從整體出發，根據數學的對稱美、簡潔美、和諧美的特征，用猜測、跳躍的方式直接而迅速地找到答案，這無疑會促進學生思維的全面發展。   4.可以幫助學生開發非智力因素   非智力因素主要指動機、興趣、情感、意志和性格等。在當前廣泛要求發展學生智力和提高學生能力的時代，僅從知識本身著手解決這一問題是不夠的，還應把眼光放到未開發而蘊藏著極大潛能的非智力因素領域。數學審美教育則為我們開發非智力因素開辟了廣闊的途徑。進行數學審美教育，能培養學生的學習興趣，激發學習動機。通過形象、生動、趣味性的數學內容，藝術、新穎的教學形式，使師生雙方息息相應，感情共鳴，使學習信息傳遞達到最佳狀態，形成引人人勝的學習情境。   四、在數學教育中進行審美教育的途徑和方法   在數學教育中進行審美教育的途徑和方法應該從以下幾方面進行:   (一)在數學教學中充分揭示數學美的特征，進行審美教育   數學教學活動是進行數學審美教育的重要方面。在數學教學中充分展現數學美的特征，不僅可使學生加深對數學知識的理解，同進也可以使學生獲得美的感受，并激發他們學習數學的興趣，改善他們的思維品質。   (二)在教學活動中積極創設思維情境，激發數學美感，進行審美教育   在教學活動中，教師可以從審美的角度為學生設置思維情境，激發學生的數學美感，讓學生沉授在數學美的享受之中，自發產生求知欲，輕松愉快的從感性向理性過渡，達到審美教育的目的。   (三)貫徹美學原則，講究教學藝術美，進行審美教育   在引導學生進行教學活動時，除盡可能挖掘數學內容中美的因素外，還應進行“美化處理”，即采川審美手段對教學內容作分、合、增、刪與調整，使其精美化，從而提高數學材料的啟發性、趣味性，使學生樂于接受、樂于思考。   (四)加強形象思維訓練，開發右腦功能，進行市美教育   傳統教育偏重于給學生傳授知識，解釋疑難問題，學生只能圍著教師轉，這實際上只是一種繼承型的教育方式。這種教育往往只注重學生的記憶力、理解力和邏輯思維能力的訓練，忽視學生的想象能力、直覺思維能力、創造性思維能力和實際操作能力的訓練。數學形象思維是以表象或形象作為思維的重要材料。在教學中，各種實物、符號、教具、模型、圖表、圖象都可使學生產生數學形象。在教學中，恰當地使用直觀教學的形式，利用形數結合的教學手段，使較為抽象的數量關系通過幾何圖形的性質反映出來，使抽象的概念、關系得以形象化，從而有利于分析發現和理解。這樣，往往能用形的直觀啟迪數的計算，用數的準確澄清形的模糊，有助于數學形象思維的發展。